b) Trên mặt phẳng cho 2017 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm được 2 điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 điểm đã cho.
Gọi $A_{1},A_{2},..,A_{2017}$ là các điểm đã cho trên mặt phẳng.
Nếu tất cả các đoạn thẳng được tạo ra từ $2$ điểm trong $2017$ điểm đã cho có độ dài bé hơn $1$. Như vậy các điểm đã cho nằm trong đường tròn tâm $A_{1}$ bán kính bằng $1$.
Nếu tồn tại đoạn thẳng có độ dài lớn hơn hoặc bằng $1$. Giả sử $A_{1}A_{2}$ là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất. Khi đó ta xét $3$ điểm $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{k}$ với $k=\overline{3;2017}$.
Do $A_{1}A_{2}$ có độ dài lớn hơn hoặc bằng $1$ nên một trong hai đoạn thẳng $A_{1}A_{k}$ và $A_{2}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$.
Gọi $B_{1}$ là số đoạn thẳng $A_{1}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$, $B_{2}$ là số đoạn thẳng $A_{2}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$.
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một trong hai số $B_{1}$, $B_{2}$ lớn hơn hoặc bằng $1008$, giả sử là $B_{1}$.
Như vậy tồn tại ít nhất $1009$ điểm trong đường tròn tâm $A_{1}$ bán kính bằng $1$ kể cả điểm $A_{1}$.
Tóm lại ta luôn tìm được một đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rfiyms: 27-08-2016 - 15:19