Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: $x(1+x+x^2)=4y(y-1)$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
traitimcamk7a

traitimcamk7a

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: $x(1+x+x^2)=4y(y-1)$.

b)  Trên mặt phẳng cho 2017 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm được 2 điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 điểm đã cho.



#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: $x(1+x+x^2)=4y(y-1)$.

Lời giải.

$$x\left ( x^{2}+x+1 \right )=4y\left ( y-1 \right )$$

$$\Leftrightarrow x\left ( x^{2}+x+1 \right )+1=4y\left ( y-1 \right )+1$$

$$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )\left ( x+1 \right )=\left ( 2y-1 \right )^{2}$$
Đặt $\left ( x^{2}+1;x+1 \right )=d$ thì suy ra:
$$d\mid \left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )-\left ( x^{2}+1 \right )$$
$$\Rightarrow d\mid 2$$
Mặt khác $\text{VP}$ của phương trình ban đầu luôn là số lẻ do đó $d=\pm 1$.
Suy ra $x^{2}+1=a^{2}$, $x+1=b^{2}$ (với $a$, $b$ nguyên).
Dễ dàng tìm được $x=0$ do đó $y=0$ hoặc $y=1$.

Thích ngủ.


#3
rfiyms

rfiyms

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

b)  Trên mặt phẳng cho 2017 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìm được 2 điểm để đoạn thẳng tạo thành có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 điểm đã cho.

Gọi $A_{1},A_{2},..,A_{2017}$ là các điểm đã cho trên mặt phẳng.

Nếu tất cả các đoạn thẳng được tạo ra từ $2$ điểm trong $2017$ điểm đã cho có độ dài bé hơn $1$. Như vậy các điểm đã cho nằm trong đường tròn tâm $A_{1}$ bán kính bằng $1$.
Nếu tồn tại đoạn thẳng có độ dài lớn hơn hoặc bằng $1$. Giả sử $A_{1}A_{2}$ là đoạn thẳng có độ dài lớn nhất. Khi đó ta xét $3$ điểm $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{k}$ với $k=\overline{3;2017}$.
Do $A_{1}A_{2}$ có độ dài lớn hơn hoặc bằng $1$ nên một trong hai đoạn thẳng $A_{1}A_{k}$ và $A_{2}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$.
Gọi $B_{1}$ là số đoạn thẳng $A_{1}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$, $B_{2}$ là số đoạn thẳng $A_{2}A_{k}$ có độ dài nhỏ hơn $1$.

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một trong hai số $B_{1}$, $B_{2}$ lớn hơn hoặc bằng $1008$, giả sử là $B_{1}$.

Như vậy tồn tại ít nhất $1009$ điểm trong đường tròn tâm $A_{1}$ bán kính bằng $1$ kể cả điểm $A_{1}$.
Tóm lại ta luôn tìm được một đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rfiyms: 27-08-2016 - 15:19

Как дай вам бог любимой быть другим.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh