cho x, y, z là các số dương. Hãy sử dụng bất đẳng thức cauchy để chứng minh:
$\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}\geq 1$
cho x, y, z là các số dương. Hãy sử dụng bất đẳng thức cauchy để chứng minh:
$\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}\geq 1$
mình mới tập gõ
$2xy\leq x^{2}+y^{2} \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}+2xy}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} chứng minh tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2yz\leq y^2+z^2$;$2xy\leq x^2+y^2;2zx\leq z^2+x^2$
Do đó: $\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$
$=\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1$
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.
các bạn giúp mình bài này nữa nhé:
sử dung bđt cauchy để chứng minh:
$\frac{2x}{x^{6}+y^{4}}+\frac{2y}{y^{6}+z^{4}}+\frac{2z}{z^{6}+x^{4}}\leq \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}}$
áp dụng bđt cô si ta có
$x^{6}+y^{4}\geq 2x^{3}y^{2}$
suy ra
$\frac{2x}{x^{6}+y^{6}}\leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}$
cm tương tự rồi cộng 3 cái vế theo vế ta có
$\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4} \leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}$
đến đây áp dụng bđt $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$$
ta có
$\frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$(suy ra đpcm)
P/s:bạn học lớp mấy vậy mình 8 lên 9 có gì trao đổi nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vamath16: 28-08-2016 - 14:53
áp dụng bđt cô si ta có
$x^{6}+y^{4}\geq 2x^{3}y^{2}$
suy ra
$\frac{2x}{x^{6}+y^{6}}\leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}$
cm tương tự rồi cộng 3 cái vế theo vế ta có
$\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4} \leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}$
đến đây áp dụng bđt $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$$
ta có
$\frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$(suy ra đpcm)
P/s:bạn học lớp mấy vậy mình 8 lên 9 có gì trao đổi nha
ừ, mình cũng lớp 8 lên lớp 9
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho a,b,c>0, $\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=2$. chứng minh rằng $\frac{a}{1+\frac{a}{b}}+\frac{b}{1+\fracBắt đầu bởi Phuongthaonguyen, 12-09-2017 bất đẳng thức cauchy |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thức cauchyBắt đầu bởi Phuongthaonguyen, 29-08-2017 bất đẳng thức cauchy |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh