Chủ đề này có 6 trả lời

[dangnamneu]

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-08-2016 - 09:28

[Ispectorgadget]

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Spoiler

[Lời giải mang tính chất tham khảo không chắc lắm về mặt kết quả ]

 

Đặt $y_i=x_i-1;\forall i=\overline{1,5}$. Từ giả thiết suy ra $0\le y_i\le 5$

Ta có hệ

$$(I) \; \left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\;\;\;\; (1)\\ 0\le y_i\le 5\; ; \forall i=\overline{1,5}\end{matrix}\right.$$

 

Gọi |X| là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) ta có $|X|=C_{24}^4$.

Gọi $|A|,|B|,|C|,|D|,|E|$ lần lượt là tập tất cả các nghiệm của 5 hệ

$$\left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\\ y_i\ge 6\; ;\forall i\in \{1,2,3,4,5\}\end{matrix}\right.$$

Bằng cách đặt $k_i=y_i-6$ và áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta dễ dàng tính được 

$|A|=|B|=|C|=|D|=|E|=0$ (phương trình này vô nghiệm thấy lạ lạ ...)

 

$$|A\cap B| = |A\cap C| = |A\cap D| = |A\cap E| = |B\cap C| = |B\cap D| = |B\cap E| = |C\cap D| = |C\cap E| = |D\cap E| =0$$

$$|A\cap B\cap C| = |A\cap B\cap  D| = |A\cap B \cap E| = |A\cap C\cap D| = |A\cap C\cap E| = |A\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D| =0$$

$|B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| =0$

$$|A\cap B\cap C\cap D| = |A\cap B\cap C\cap E| = |A\cap B\cap D\cap E| = |A\cap C\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D\cap E| =0$$

$$ |A\cap B\cap C\cap D\cap E| =0$$

 

Theo nguyên lý bù trừ ta có số nghiệm hệ (I) là

$$X-(|A| + |B| + |C| + |D| + |E| - |A\cap B| - |A\cap C| - |A\cap D| - |A\cap E| - |B\cap C| - |B\cap D| - |B\cap E| - |C\cap D| - |C\cap E| - |D\cap E| + |A\cap B\cap C| + |A\cap B\cap D| + |A\cap B\cap E| + |A\cap C\cap D| + |A\cap C\cap E| + |A\cap D\cap E| + |B\cap C\cap D| + |B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| - |A\cap B\cap C\cap D| - |A\cap B\cap C\cap E| - |A\cap B\cap D\cap E| - |A\cap C\cap D\cap E| - |B\cap C\cap D\cap E| + |A\cap B\cap C\cap D\cap E| )$$

$$=C_{24}^4=10626. \;\; \blacksquare$$

[LAdiese]

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Vậy số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}+C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-(3060+4950+150)=2466$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LAdiese: 29-08-2016 - 09:40

[chanhquocnghiem]

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Trước khi giải bài này, mình xin chia sẻ một "bí kíp gia truyền" có liên quan.Đó là số nghiệm NGUYÊN của hệ :

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=k\\1\leqslant x,y,z\leqslant m \end{matrix}\right.$

Gọi số nghiệm nguyên của hệ trên là $M$.Ta có thể tìm $M$ bằng cách sau đây :

Bước 1 : Viết ra một dãy gồm 4m-3 SỐ như sau $\underbrace{0,0,0,...,0}_{m-1\ so\ 0},1,2,...,m-1,m,m-1,...,2,1,\underbrace{0,0,0,...,0}_{m-1\ so\ 0}$

Bước 2 : Gieo một đồng tiền xem được SẤP hay NGỬA.

Bước 3 : Lập tổng của $m$ số liên tiếp của dãy trên, từ số thứ k-2 đến số thứ k+m-3 (thứ tự các số tính từ bên trái nếu SẤP; từ bên phải nếu NGỬA).Tổng tìm được chính là $M$.

(Việc chứng minh "bí kíp" này cũng không khó lắm, lại khá thú vị nên xin dành cho bạn đọc  )

 

Từ "bí kíp" trên lại có thể rút ra 2 điều sau :

- Nếu $3\leqslant k\leqslant m+2$ thì $M=C_{k-1}^2$

- Nếu $2m+1\leqslant k\leqslant 3m$ thì $M=C_{3m-k+2}^2$ (*)

 

Quay lại bài toán của chúng ta.Hệ đã cho tương đương với :

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=k\\x_4+x_5=25-k\\1\leqslant x_i\leqslant 6\ ;i\in \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} \end{matrix}\right.$

Gọi $P$ là số nghiệm nguyên của hệ đã cho.$P$ chính là tổng số nghiệm nguyên của hệ trên khi $k$ chạy từ $3$ đến $18$.

Dễ thấy khi $3\leqslant k\leqslant 12$ thì hệ trên vô nghiệm.

Và khi $13\leqslant k\leqslant 18$ thì theo (*), phương trình thứ nhất có $C_{3.6-k+2}^2=C_{20-k}^2$ nghiệm nguyên, còn phương trình thứ hai có k-12 nghiệm nguyên.Khi đó hệ có $(k-12).C_{20-k}^2$ nghiệm nguyên.

$\Rightarrow P=\sum_{k=13}^{18}(k-12)C_{20-k}^2=C_7^2+2C_6^2+3C_5^2+...+6C_2^2=\sum_{i=2}^{7}C_i^2+\sum_{i=2}^{6}C_i^2+...+\sum_{i=2}^{2}C_i^2$

Mà $\sum_{i=2}^{j}C_i^2=\frac{(j+1).j.(j-1)}{6}=C_{j+1}^3$

$\Rightarrow P=\sum_{i=2}^{7}C_{i+1}^3=\frac{\frac{6.7.8.9}{4}}{6}=\frac{A_9^4}{24}=126$

 

Trả lời : Hệ đã cho có $126$ nghiệm nguyên.

[LAdiese]

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Vậy số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}+C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-(3060+4950+150)=2466$

Hôm nay lang thang trên forum, phát hiện bài mình đã giải sai, xin chỉnh lại như sau:

HPT đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}+y_{2}+...+y_{5}=20\\ 0\leq y_{i}\leq 5 \end{matrix}\right.$ $(*)$
Ta thấy với $y_{i}\geq 0$ thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{24}^{4}$. 

Có 1 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{1}.C_{18}^{4}$.

Có 2 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{2}.C_{12}^{4}$.

Có 3 ẩn $\geq 6$  thì $(*)$ có số nghiệm là $C_{5}^{3}.C_{6}^{4}$.

Theo nguyên lý bù trừ, ta có số nghiệm thỏa $(*)$ cũng là số nghiệm cần tìm là:

$C_{24}^{4}-(C_{5}^{1}.C_{18}^{4}-C_{5}^{2}.C_{12}^{4}+C_{5}^{3}.C_{6}^{4})=10626-15300+4950-150=126$

[Nobodyv3]

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 
$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Cách khác, ta có hàm sinh cho số nghiệm nguyên của phương trình đã cho :$$\begin {align*}
f(x)&=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5\\
&=\frac {(x-x^7)^5}{(1-x)^5}\\
\Rightarrow [x^{25}]f(x)&=[x^{25}](x^5-5x^{11}+10x^{17}-10x^{23})\sum_{n\geq0}\binom{n+4}{4}x^n\\
&=\binom{24}{4}-5\binom{18}{4}+10\binom{12}{4}-10\binom{6}{4}\\
&=10626-15300+4950-150\\
&=\color {blue}126
\end{align*}$$

[Nobodyv3]

Spoiler

[Lời giải mang tính chất tham khảo không chắc lắm về mặt kết quả - Giờ thì chắc rồi! ]

Đặt $y_i=x_i-1;\forall i=\overline{1,5}$. Từ giả thiết suy ra $0\le y_i\le 5$
Ta có hệ
$$(I) \; \left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\;\;\;\; (1)\\ 0\le y_i\le 5\; ; \forall i=\overline{1,5}\end{matrix}\right.$$Gọi |X| là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) ta có $|X|=C_{24}^4$

Mình xin phép ngắt tại đây, và thay vào đó ...
Ta thấy $20=6\times 3+2$ nên phương trình sẽ có 1,2 hoặc 3 nghiệm $y_i\geq 6$, do đó ta phải trừ đi số các nghiệm $y_i\geq 6$ này. Theo nguyên lý bù trừ ta có :$$ \begin{align*}
&\binom{5}{1}\binom{14+4}{4}-\binom{5}{2}\binom{8+4}{4}+\binom{5}{3}\binom{2+4}{4}\\
&=15300-4950+150=10500\\
&\Rightarrow \left | X \right |-10500=10626-10500\\
&=\color {blue}126\end{align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-07-2023 - 22:31