Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Phương trình $8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$ có bao nhiêu nghiệm nằm trong khoảng $\left[0;1\right]$

[L Lawliet]

Phương trình $8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$ có bao nhiêu nghiệm nằm trong khoảng $\left[0;1\right]$

Giải với trường hợp tổng quát rồi chọn nghiệm nhé.

Lời giải.

Với $x\geq 1$ thì $\text{VT}>1$ do đó phương trình vô nghiệm.

Với $x\leq -1$ thì $\text{VT}<0$ do đó phương trình vô nghiệm.

Với $\left | x \right |<1$ đặt $x=\cos t$ với $t\in \left [ 0;\pi \right ]$.

Khi đó phương trình trở thành:

$$8\cos t\left ( 2\cos ^{2}t-1 \right )\left ( 8\cos ^{4}t-8\cos ^{2}t+1 \right )=1$$

$$\Leftrightarrow 8\cos t.\cos 2t.\cos 4t=1$$

$$\Leftrightarrow 8\sin t.\cos t.\cos 2t.\cos 4t=\sin t$$

$$\Leftrightarrow \sin 8t=\sin t$$

$$\Leftrightarrow t=\dfrac{2k\pi }{7}\vee t=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{9}$$

So sánh điều kiện ta được $t\in \left \{ \dfrac{2\pi}{7};\dfrac{4\pi}{7};\dfrac{6\pi}{7};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{9};\dfrac{5\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9} \right \}$.

Do đó phương trình có các nghiệm $x\in \left \{ \cos \dfrac{2\pi}{7};\cos \dfrac{4\pi}{7};\cos \dfrac{6\pi}{7};\cos \dfrac{\pi}{3};\cos \dfrac{\pi}{9};\cos \dfrac{5\pi}{9};\cos \dfrac{7\pi}{9} \right \}$.