Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
pcfamily

pcfamily

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$



#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Bài này có nhiều ở trong diễn đàn rồi, mình trích dẫn lại lời giải cho bạn xem:

 

Ta biến đổi vế trái :

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)(a+b)+(a-c)(a+c)}{b^{2}+c^{2}}= \frac{1}{2}\sum (\frac{(a-b)(a+b)}{b^{2}+c^{2}}-\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}+c^{2}})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(a+b)\frac{(a-b)(a+b)}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}$

Ta biến đổi vế phải: 

$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{1}{(b+c)(c+a)}$

Nên:

$VT-VP=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(b+c)(c+a)})$

Sử dụng tiêu chuẩn 2 của $S.O.S$ ta suy ra điều phải chứng minh 

 

Giả sử $a\geq b\geq c$
$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}=\frac{a^{2}(b+c)-a(b^{2}+c^{2})}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}\geq \frac{a^{2}(b+c)-a(b^{2}+c^{2})}{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$
$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$
$\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{b^{2}(a+c)-b(a^{2}+c^{2})}{(a^{2}+c^{2})(a+c)}\geq \frac{b^{2}(a+c)-b(a^{2}+c^{2})}{(a^{2}+b^{2})(a+b)}$
Bài toán được suy ra trực tiếp từ 3 bất đẳng thức trên
Chú ý:$a^{2}(b+c)-a(b^{2}+c^{2})+c^{2}(a+b)-c(a^{2}+b^{2})+b^{2}(a+c)-b(a^{2}+c^{2})=0$

 

Bài toán tổng quát trong sáng tạo bất đẳng thức: Với $a,b,c>0$ và $x\geq 1$ thì ta có:

$$\dfrac{a^{x}}{b^{x}+c^{x}}+\dfrac{b^{x}}{c^{x}+a^{x}}+\dfrac{c^{x}}{a^{x}+b^{x}}\geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$

Xét hàm số: $f(x)=\frac{a^x}{b^x+c^x}+\frac{b^x}{c^x+a^x}+\frac{c^x}{a^x+b^x}$

Đạo hàm $f(x)$ theo $x$ có thể nhận thấy: $f'(x)\geq 0$ với $\forall x \geq 0$. Hàm $f(x)$ đồng biến với $x\in [0;+\infty )$

Do đó với $\forall s\geq t\geq 0$, ta có: $f(s)\geq f(t)$. Suy ra đpcm


Thích ngủ.


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$ 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh