Tìm tất cả đa thức $\mathcal{P}\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ sao cho
$\mathcal{P}(p)\mid 2^p-p \ ,\forall p \ \text{nguyên tố}$
$\left ( \text{IMOTC-2016},\ \text{Senior Batch} \right )$
Edited by nhungvienkimcuong, 31-08-2016 - 04:37.
Tìm tất cả đa thức $\mathcal{P}\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ sao cho
$\mathcal{P}(p)\mid 2^p-p \ ,\forall p \ \text{nguyên tố}$
$\left ( \text{IMOTC-2016},\ \text{Senior Batch} \right )$
Edited by nhungvienkimcuong, 31-08-2016 - 04:37.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Có $\mathcal{P}(2)\mid 2 $,$\mathcal{P}(5)\mid 27 $ và $3\mid \mathcal{P}(5)- \mathcal{P}(2)$ nên hoặc $\mathcal{P}(2)=\mathcal{P}(5)=1$ hoặc $\mathcal{P}(2)=\mathcal{P}(5)=-1$.WOLG, giả sử $\mathcal{P}(2)=1$,ta thấy $\mathcal{P}(0)=1$ bởi nếu tồn tại $1$ ước nguyên tố lẻ của $\mathcal{P}(0)$ là $q$ thì $q\mid \mathcal{P}(q)$, hay $q\mid 2^q$ (vô lí). Xét $p$ nguyên tố bất kì, gọi $q$ là $1$ ước nguyên tố bất kì của $\mathcal{P}(p)$ thì $q\mid 2^p-p$, gọi $m= \text{ord}_{2}(q)$,giả sử $m>2$ có $(m;q)=1$ nên theo định lí thặng dư trung hoa thì $\left\{\begin{matrix} x\equiv p \pmod{q} & & \\ x\equiv p+v \pmod{m} & & \end{matrix}\right.$ với $v$ là $1$ số thỏa mãn $v$ không chia hết cho $m$ và $(p+v;m)=1$ (hoàn toàn chọn được do $m>2$ nên $\phi(m)\geq 2$), có $1$ nghiệm $x \pmod{qm}$ . Dễ thấy do $\mathcal{P}(0)=1$ nên $(p;q)=1$ và $(p+v;m)=1$ nên $(x;qm)=1$. Theo định lí Dirichlet, tồn tại $1$ số nguyên tố $t$ để $t \equiv x \pmod{qm}$. Có $q\mid t-p$ nên $q\mid \mathcal{P}(t)-\mathcal{P}(q)$$\Rightarrow$ $q\mid \mathcal{P}(t)$$\Rightarrow$$q\mid 2^t-t$$\Rightarrow$$q\mid 2^p(2^{t-p}-1)+p-t$$\Rightarrow$$q \mid 2^{t-p}-1$ (vô lí do $t-p$ không phải là bội của $m$). Vậy $m=2$, hay $q=3$, vậy $\mathcal{P}(p)$ có dạng $3^t$ với mọi $p$ nguyên tố(1). Cố định $p\neq 3$ và $t$, theo định lí Dirichlet thì tồn tại vô hạn số nguyên tố $q$ thỏa mãn $q\equiv p \pmod{3^{t+1}}$. Có $3^{t+1}\mid q-p$ nên $3^{t+1}\mid \mathcal{P}(q)-\mathcal{P}(p)$. Kết hợp với (1) ta có $\mathcal{P}(q)=3^t$.Vậy $\mathcal{P}(x)=3^t$ có vô số nghiệm nên đa thức là đa thức hằng.Thử lại thấy $\mathcal{P}(x)=1$ hoặc $\mathcal{P}(x)=-1$ thỏa mãn
Edited by JUV, 11-09-2016 - 21:08.
Xét $p>2$ bất kì. Nếu $P(p)$ tồn tại 1 ước nguyên tố $q$, dễ thấy $q$ khác 2. Ta có: $q | P(p) | 2^{p}-p$ và $q | P(p+q) | 2^{p+q} - (p+q)$
Suy ra $2^{q}-1$ chia hết cho $q$ mà $q | 2^{q}-2$ suy ra $q | 1$ suy ra vô lý. Vậy với mọi $p>2$ thì $P(p)=1$ hoặc $P(p)=-1$ suy ra $P(p)=1$ với mọi $p>2$ hoặc $P(p)=-1$ với mọi $p>2$. Tóm lại $P(x)$ là đa thức hằng bằng 1 hoặc -1
0 members, 1 guests, 0 anonymous users