Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

\begin{cases}x(4y^3+3y+\sqrt{5y^2-x^2})=y^2(x^2+4y^2+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^2-2\sqrt{y}-4\end{cases}


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 31-08-2016 - 13:21

Giai hệ phương trình sau: 

\begin{cases}x(4y^3+3y+\sqrt{5y^2-x^2})=y^2(x^2+4y^2+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^2-2\sqrt{y}-4\end{cases}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 31-08-2016 - 13:24


#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-08-2016 - 14:50

Giai hệ phương trình sau: 

\begin{cases}x(4y^3+3y+\sqrt{5y^2-x^2})=y^2(x^2+4y^2+8)\\x+\sqrt{12-2x}=2y^2-2\sqrt{y}-4\end{cases}

Lời giải.

Điều kiện xác định: $5y^{2}-x^{2}\geq 0$ và $x\leq 6$.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$x\left ( 4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}} \right )=y^{2}\left ( x^{2}+4y^{2}+8 \right )$$

$$\Leftrightarrow 3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}-8y^{2}=\left ( xy-2y^{2} \right )^{2}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow 3xy+x\sqrt{5y^{2}-x^{2}}\geq 8y^{2}$$
Xét $x=0$ không phải nghiệm của hệ do đó chia hai vế của bất phương trình trên cho $x\neq 0$ ta được:
$$\sqrt{\dfrac{5y^{2}}{x^{2}}-1}\geq \dfrac{8y^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3y}{x}$$
Đặt điều kiện và giải bất phương trình trên ta được $\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{2}$ hay $x=2y$.
Hoặc ta có thể viết phương trình một như sau:
$$x\left ( 4y^{3}+3y+\sqrt{5y^{2}-x^{2}} \right )=y^{2}\left ( x^{2}+4y^{2}+8 \right )$$
$$\Leftrightarrow \left ( x-2y \right )^{2}\left ( 4y^{2}+3 \right )+\left ( x-2\sqrt{5y^{2}-x^{2}} \right )^{2}=0$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} x-2y=0 \\ x-2\sqrt{5y^{2}-x^{2}}=0 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow x=2y>0$$
Đến đây sau khi thay xuống phương trình thứ hai hi vọng sẽ đơn giản :D
----
Mới thử giải lại, có lẽ nếu không quen thì sẽ khó tìm ra nhân tử để liên hợp nên mình trình bày tiếp luôn :D
Thay $x=2y$ vào phương trình thứ hai ta được:
$$y+\sqrt{3-y}=y^{2}-\sqrt{y}-2$$
$$\Leftrightarrow y^{2}-3y+1+\left [ \left ( y-1 \right )-\sqrt{y} \right ]+\left [ \left ( y-2 \right )-\sqrt{3-y} \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow y^{2}-3y+1+\dfrac{y^{2}-3y+1}{y-1+\sqrt{y}}+\dfrac{y^{2}-3y+1}{y-2+\sqrt{3-y}}=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( y^{2}-3y+1 \right )\left ( 1+\dfrac{1}{y-1+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{y-2+\sqrt{3-y}} \right )=0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 31-08-2016 - 22:29

Thích ngủ.


#3 zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 31-08-2016 - 23:10

Mới thử giải lại, có lẽ nếu không quen thì sẽ khó tìm ra nhân tử để liên hợp nên mình trình bày tiếp luôn :D

Thay $x=2y$ vào phương trình thứ hai ta được:
$$y+\sqrt{3-y}=y^{2}-\sqrt{y}-2$$
$$\Leftrightarrow y^{2}-3y+1+\left [ \left ( y-1 \right )-\sqrt{y} \right ]+\left [ \left ( y-2 \right )-\sqrt{3-y} \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow y^{2}-3y+1+\dfrac{y^{2}-3y+1}{y-1+\sqrt{y}}+\dfrac{y^{2}-3y+1}{y-2+\sqrt{3-y}}=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( y^{2}-3y+1 \right )\left ( 1+\dfrac{1}{y-1+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{y-2+\sqrt{3-y}} \right )=0$$

 

bạn có thể hướng dẫn mình cách nhẩm được nhân tử $y^2-3y+1$ không ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 12-09-2016 - 23:36
Sửa lại trích dẫn quá dài.


#4 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-08-2016 - 23:24

bạn có thể hướng dẫn mình cách nhẩm được nhân tử $y^2-3y+1$ không ạ

Hơi xài công nghệ xí, mình chưa kiểm tra trên máy tính cầm tay nên có thể nó sẽ không hiệu quả khi thi cử, hóng lời giải hay hơn của bác Chánh vậy nhé:

- Đưa phương trình trên vào wolfram.

- Khoan xét về kết cấu của phương trình, nếu phương trình có hai nghiệm vô tỷ mình sẽ nghĩ đến chuyện bình phương lên (thường thì khi đó sẽ ra được hai cái nhân tử là tam thức bậc hai, bạn có thể tham khảo mấy bài viết gần đây của mình có mấy bài như vậy). Nhưng ở đây phương trình chỉ có một nghiệm vô tỷ nên mình nghĩ đến việc phương trình sẽ có nhân tử là một tam thức bậc hai có hai nghiệm vô tỷ nhưng bị loại một nghiệm do điều kiện xác định.

- Từ ý tưởng đó lấy một số nữa sao cho cái phần vô tỷ đối dấu nhau, sau đó suy ngược ra tam thức bậc hai.

Thực hành thì sao?

- Ở đây phương trình có kết cấu hơi "đẹp" nhưng nhìn chung không thể bình phương lên lấy nghiệm được, thường khi bình phương mong bậc bốn rồi từ đó phân tích tiếp (khi đó đã hết căn) nhưng ở đây bình phương một lần ra bậc bốn rồi nhưng vẫn chưa mất căn được nên bỏ.

- Thực hiện theo ý tưởng thứ hai, ta biết phương trình có nghiệm $\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ta lấy số $\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ rồi lập tam thức bậc hai từ đó tách để liên hợp và thật "may mắn" là tách vừa đẹp luôn.

Xin hết :D


Thích ngủ.


#5 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 01-09-2016 - 00:46

Hơi xài công nghệ xí, mình chưa kiểm tra trên máy tính cầm tay nên có thể nó sẽ không hiệu quả khi thi cử, hóng lời giải hay hơn của bác Chánh vậy nhé:

- Đưa phương trình trên vào wolfram.

- Khoan xét về kết cấu của phương trình, nếu phương trình có hai nghiệm vô tỷ mình sẽ nghĩ đến chuyện bình phương lên (thường thì khi đó sẽ ra được hai cái nhân tử là tam thức bậc hai, bạn có thể tham khảo mấy bài viết gần đây của mình có mấy bài như vậy). Nhưng ở đây phương trình chỉ có một nghiệm vô tỷ nên mình nghĩ đến việc phương trình sẽ có nhân tử là một tam thức bậc hai có hai nghiệm vô tỷ nhưng bị loại một nghiệm do điều kiện xác định.

- Từ ý tưởng đó lấy một số nữa sao cho cái phần vô tỷ đối dấu nhau, sau đó suy ngược ra tam thức bậc hai.

Thực hành thì sao?

- Ở đây phương trình có kết cấu hơi "đẹp" nhưng nhìn chung không thể bình phương lên lấy nghiệm được, thường khi bình phương mong bậc bốn rồi từ đó phân tích tiếp (khi đó đã hết căn) nhưng ở đây bình phương một lần ra bậc bốn rồi nhưng vẫn chưa mất căn được nên bỏ.

- Thực hiện theo ý tưởng thứ hai, ta biết phương trình có nghiệm $\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ta lấy số $\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ rồi lập tam thức bậc hai từ đó tách để liên hợp và thật "may mắn" là tách vừa đẹp luôn.

Xin hết :D

 

Ẩn các dự định để thêm một chút lý giải cho lời giải trên. Liệu $\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ có là nghiệm của PT trên hay không? Tại sao nó lại là một nhân tử trong phân tích trên? Và thật sự không tìm được "nghiệm này" trong quá trình dùng máy tính bỏ túi.
Câu trả lời là không. Và ta cần thêm một chút lý giải vì sao loại nghiệm này?
Bằng cách đánh giá sơ bộ: Vì  $y^2-y-2=\sqrt{y}+\sqrt{3-y}\ge 0$ nên $y\ge 2$. Từ đó phải loại  $\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$. 
Thực sự đây không phải là lý do "thực sự" vì điều kiện chỉ là  $y\in [0,3].$ Lặp lại một lần nữa, tại sao loại $\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$?
Ta có thể phán đoán ngay, nhân tử  $(x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})$ xuất hiện ở mẫu (sau khi quy đồng) của phần trong ngoặc thứ 2 của phân tích $$ \left ( y^{2}-3y+1 \right )\left ( 1+\dfrac{1}{y-1+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{y-2+\sqrt{3-y}} \right )=0$$
có thể đổi dấu  trên $[0,3].$
Thật vậy, với $y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, ta có $y-1+\sqrt{y}=0=y-2+\sqrt{3-y}.$ Và
với $y_1=0, y_2=2$, ta có
\[1+\dfrac{1}{y_1-1+\sqrt{y_1}}+\dfrac{1}{y_1-2+\sqrt{3-y_1}}= \frac{1}{-2+\sqrt{3}}<0,\]
\[1+\dfrac{1}{y_2-1+\sqrt{y_2}}+\dfrac{1}{y_2-2+\sqrt{3-y_2}}>0. \]
 
Ta có thể khắc phục thông qua nhận xét: $y\ge 2.$ Suy ra phần trong ngoặc thứ hai dương. 
 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 05-09-2016 - 21:04

Đời người là một hành trình...





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh