Chủ đề này có 6 trả lời

[Senju Hashirama]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

   $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^{2}$

[L Lawliet]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

   $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^{2}$

Lời giải.

Đặt $P\left ( x,y \right )$ là khẳng định $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}$.

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $f\left ( 0 \right )=0\Leftrightarrow x=0$.

Thật vậy nếu $f\left ( 0 \right )\neq 0$ thì $P\left ( 0,\dfrac{x}{f\left ( 0 \right )} \right )\Rightarrow f\left ( 0 \right )=f\left ( x \right ), \ \forall x\in \mathbb{R}$.

Tức là $f\left ( x \right )$ là hàm hằng nhưng dễ thấy hàm này không thỏa, vậy $f\left ( 0 \right )=0$.

Ngoài ra nếu tổng tại $x$ mà $f\left ( 0 \right )=0$ thì $P\left ( x,0 \right )\Rightarrow 0=x^{2}\Leftrightarrow x=0$ ta được điều phải chứng minh.

Ta có $P\left ( x,0 \right )\Rightarrow f\left ( xf\left ( x \right ) \right )f\left ( 0 \right )+x^{2}=x^{2}$ do đó $f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=x^{2}$.

Ta sẽ chứng minh $f\left ( x \right )$ đơn ánh.

Thật vậy ta có:

$$P\left ( a,b-a \right )\Rightarrow f\left ( af\left ( b \right ) \right )=f\left ( \left ( b-a \right )f\left ( a \right ) \right )+a^{2}=f\left ( \left ( b-a \right )f\left ( a \right ) \right )+f\left ( af\left ( a \right ) \right )$$

Nên $f\left ( \left ( b-a \right )f\left ( a \right ) \right )=f\left ( af\left ( b \right ) \right )-f\left ( af\left ( a \right ) \right )$.

Từ đó nếu $f\left ( a \right )=f\left ( b \right )$ thì:

$$f\left ( \left ( b-a \right )f\left ( a \right ) \right )=0$$

$$\Rightarrow \left ( b-a \right )f\left ( a \right )=0 \ \text{(theo a)}$$

$$\Rightarrow a=b\vee a=b=0$$

Trong hai trường hợp trên thì $f$ đều là đơn ánh.

Ta có $f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=x^{2}=\left ( -x \right )^{2}=f\left ( -xf\left ( -x \right ) \right )$.

Vì $f$ là đơn ánh nên $x\left ( x \right )=-xf\left ( -x \right )$ hay $\left ( x \right )=-f\left ( -x \right )$.

Vì $f\left ( xf\left ( x \right ) \right )=x^{2}$ nên $\mathbb{R^{+}}\cup \left ( 0 \right )\subset f\left ( \mathbb{R} \right )$ và vì $f$ là hàm lẻ nên $f\left ( -xf\left ( x \right ) \right )=-x^{2}$ nên $\mathbb{R^{-}}\subseteq f\left ( \mathbb{R} \right )$.

Điều này chứng tỏ $f\left ( \mathbb{R} \right )=\mathbb{R}$.

Cuối cùng ta sẽ chứng minh $f\left ( x \right )=x$ hoặc $f\left ( x \right )=-x$.

Thật vậy vì $f$ là một toàn ánh nên tồn tại $u\in \mathbb{R}$ sao cho $f\left ( u \right )=1$.

Khi đó vì $f\left ( uf\left ( u \right ) \right )=u^{2}\Rightarrow f\left ( u \right )=u^{2}\Rightarrow u^{2}=1\Rightarrow u=\pm 1$ nên $u$ chỉ có hai giá trị là $\pm 1$.

- Nếu $u=1$, tức là $f\left ( 1 \right )=1$ thì khi đó:

$$\left\{\begin{matrix} P\left ( 1,x-1 \right )\Rightarrow f\left ( f\left ( x \right ) \right )=f\left ( x-1 \right )+1 \\ P\left ( 1,-x-1 \right )\Rightarrow f\left ( f\left ( -x \right ) \right )=f\left ( -x-1 \right )+1 \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow -f\left ( f\left ( x \right ) \right )-f\left ( x+1 \right )+1$$

Từ đó ta có:

$$f\left ( x+1 \right )=f\left ( x-1 \right )+2\Rightarrow f\left ( x+2 \right )=f\left ( x \right )+2\Rightarrow f\left ( x+4 \right )=f\left ( x \right )+4$$

Mặt khác:

$$P\left ( 2,x \right )\Rightarrow f\left ( 2f\left ( x+2 \right ) \right )=f\left ( xf\left ( 2 \right ) \right )+4=f\left ( 2x+4 \right )$$

$$\Rightarrow 2f\left ( x+2 \right )=2x+4$$

$$\Rightarrow f\left ( x \right )=x$$

- Tương tự với $u=-1$ ta được $f\left ( x \right )=-x$.

Thử lại thấy cả hai hàm đều thỏa.

[bangbang1412]

 

Lời giải.

Đặt $P\left ( x,y \right )$ là khẳng định $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}$.

 

 

http://diendantoanho...54-fxfxyfyfxx2/

Ồ , tự nhiên thấy giống nhau lạ kì , có phải trùng hợp không ??

Tuy lời giải mình cũng giống nhưng lấy ýtưởng từ $2$ link từ aops tại đây :

Bài toán của bạn 

Tham khảo tại : 

http://artofproblems...h411407p2308289

http://artofproblems...1178359p5695097

[L Lawliet]

http://diendantoanho...54-fxfxyfyfxx2/

Ồ , tự nhiên thấy giống nhau lạ kì , có phải trùng hợp không ??

Tuy lời giải mình cũng giống nhưng lấy ýtưởng từ $2$ link từ aops tại đây :

Bài toán của bạn 

Tham khảo tại : 

http://artofproblems...h411407p2308289

http://artofproblems...1178359p5695097

Ủa mình gõ lại thì sao mà bạn khó chịu thế : ))

[bangbang1412]

Ủa mình gõ lại thì sao mà bạn khó chịu thế : ))

ồ , sao không đưa link luôn nhỉ . Dĩ nhiên khó chịu với những người ntn rồi .

[L Lawliet]

ồ , sao không đưa link luôn nhỉ . Dĩ nhiên khó chịu với những người ntn rồi .

Dạ, em sẽ rút kinh nghiệm, mod thông cảm ạ.

Mà không phải cái lời giải của em là bên topic anh Nam đâu nha, em mệt anh quá =))

[bangbang1412]

Có hiện tưởng bị ảo ở vmf với vài cái máy .