Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
gemyncanary

gemyncanary

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$



#2
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Câu 5b .

Đưa về cm VT $\leq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

IX6dV9.png


Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096


#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

$a=b=1,c=0$ đâu có thỏa mãn giả thiết đâu?. Đẳng thức có lẽ xảy ra tại $\left( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2}; 0 \right)$ và các hoán vị.

 

Và giả thiết cần sửa là $a,b,c$ không âm


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
iloveyouproht

iloveyouproht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

$a=b=1,c=0$ đâu có thỏa mãn giả thiết đâu?. Đẳng thức có lẽ xảy ra tại $\left( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2}; 0 \right)$ và các hoán vị

 

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$

 

Ta sẽ đi chứng minh :

$a\sqrt{4b^2+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$
 
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
 
$(\sum a\sqrt{4b^2+c^2})^2\leq \left[\sum a(2b+c) \right]\left[\sum \frac{a(4b^2+c^2)}{2b+c} \right]$
 
Do đó ta sẽ đi chứng minh:
 
$\frac{a(4b^2+c^2)}{2b+c}+\frac{b(4c^2+a^2)}{(2c+a)}+\frac{c(4a^2+b^2)}{2a+b}\leq \frac{3(a+b+c)^4}{16(ab+bc+ac)}$
 
Lại để ý rằng.
$\frac{a(4b^2+c^2)}{2b+c}=a(2b+c)-\frac{4abc}{2b+c}$
 
Mà $\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}+\frac{1}{2a+b}\geq \frac{3}{a+b+c}$
 
Do đó ta quy về chứng minh BĐT sau:
 
$4r\geq q-\frac{1}{16q}$ với $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ac,r=abc$
 
Hay tương đương: $f(r)=64qr+1-16q^2\geq 0$
 
Khi $q\leq \frac{1}{4}\rightarrow r\geq 0$ thì BĐT hiển nhiên.
 
Xét chiều ngược lại $\frac{1}{4}\leq r\leq \frac{1}{3}$ ta có:
 
$r\geq \frac{(4q-1)(4-10q+3q^2)}{1-2q}$ nên BĐTcần chứng minh  tương đương.
$f(q)=\frac{(4q-1)(192q^3-568q^2+238q-9)}{9(1-2q)}\geq 0$ với $q$ đang xét.
 
Dấu bằng khi 2 số bằng nhau số còn lại =0.
Thầy xem có đúng k ạ :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 04-09-2016 - 22:23

Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…

________________________________________________

 

Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...

Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...  ~O)

-----------------------

My facebookhttps://www.facebook...100021740291096





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh