Chủ đề này có 5 trả lời

[Korosensei]

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :

$a) y(x-1)=x^2+2$

$b)2^x-3=65y$

$c)x!+y!=10z+9$

$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 04-09-2016 - 10:38

[Hai2003]

c) $x!+y!=10z+9$

GT ngụ ý rằng $x!+y!$ là số lẻ, tức trong $x!,y!$ thì có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Chỉ có 1 giai thừa lẻ là $1!=1$, giả sử $x=1$

PT thành $y!=10z+8$, hay $y!$ có chữ số tận cùng bằng $8$. Nếu $y\geq 5$ thì $y!$ tận cùng bằng 0, nếu $y<5$ thì không có $y$ thỏa đề bài.

 

Vậy PT vô nghiệm nguyên.

[loolo]

a) $\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}+2}{x-1}=x+1+\frac{3}{x-1}$

Để y nguyên thì $x-1\in Ư(3)={1,-1,3,-3}$

$\Rightarrow x\in {2;0;4;-2}$

$\Rightarrow y\in {6;-2;6}$

[L Lawliet]

$b)2^x-3=65y$

Lời giải.

Vì $65\mid 65y$ nên phương trình có nghiệm nguyên thì $\text{VT}$ phải chia hết cho $65$ hay $\text{VT}$ cho hết cho $5$ và $13$. Từ đó suy ra:

$$5\mid 2^{x}-3\Rightarrow 2^{x}\equiv 3\pmod {5}\Rightarrow x\equiv 3\pmod {4}$$

$$13\mid 2^{x}-3\Rightarrow 2^{x}\equiv 3\pmod {13}\Rightarrow x\equiv 4\pmod {12}$$

Điều này vô lí, vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

[hoangvunamtan123]

d) 

xét tính chẵn lẽ ta có các TH để bài toán tạm thời thõa mãn 

TH1: có 2 số chẵn ,1 số lẽ 

TH2:3 số đều lẽ 

TH3:3 số đều chẵn 

Xét TH 1: lúc  này VT $\equiv 2 (mod 4 )$ ,VP chia hết cho 4 (loại)

TH2 : VT đồng dư với 3 ( mod 4 ) ,VP đồng dư với 1 (mod 4 ) (loại )

xét TH 3 : đặt $x=2a,y=2b,z=2c \rightarrow a^2+b^2+c^2=\left ( 2ab \right )^2$ ,lúc này ta thấy a ,b,c tiếp tục đều chẵn ,lặp lại tuần tự các bước ta thấy đều đó chỉ xảy ra khi x=y=z = 0

[toannguyenebolala]

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :

$a) y(x-1)=x^2+2$

$b)2^x-3=65y$

$c)x!+y!=10z+9$

$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$

Thêm một lời giải cho câu d)

Ta có thể xét ở tập các số nguyên dương.

Với $y=0\rightarrow (x,y,z)=(0;0;0)$

Với $x=1, hoặc y=1$ thì phương trình vô nghiệm

Với $x,y>0$, ta có: $x^2+y^2-x^{2}y^2=-z^2$.

Ta sẽ chứng minh: $x^2+y^2-x^2y^2<-xy$ (dễ dàng chứng minh bằng cách lập delta) . Như vậy $-z^2<-xy\Leftrightarrow z^2>xy\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-x^2y^2>x^2+y^2+xy-x^2y^2$

Ta sẽ chứng minh $x^2+y^2+xy-x^2y^2>0$

Ta có: 

$x^2+y^2+xy-x^2y^2=(xy+x+y+\frac{1}{2})(xy-x-y+\frac{1}{2})-\frac{1}{4}$$>0(x,y> 1)$

Vậy với $x,y>0$ thì phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Bộ số $(x,y,z)$ nguyên duy nhất thỏa mãn là $(0;0;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 04-09-2016 - 12:49