Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :
$a) y(x-1)=x^2+2$
$b)2^x-3=65y$
$c)x!+y!=10z+9$
$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 04-09-2016 - 10:38
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :
$a) y(x-1)=x^2+2$
$b)2^x-3=65y$
$c)x!+y!=10z+9$
$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 04-09-2016 - 10:38
c) $x!+y!=10z+9$
GT ngụ ý rằng $x!+y!$ là số lẻ, tức trong $x!,y!$ thì có 1 số chẵn và 1 số lẻ. Chỉ có 1 giai thừa lẻ là $1!=1$, giả sử $x=1$
PT thành $y!=10z+8$, hay $y!$ có chữ số tận cùng bằng $8$. Nếu $y\geq 5$ thì $y!$ tận cùng bằng 0, nếu $y<5$ thì không có $y$ thỏa đề bài.
Vậy PT vô nghiệm nguyên.
a) $\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}+2}{x-1}=x+1+\frac{3}{x-1}$
Để y nguyên thì $x-1\in Ư(3)={1,-1,3,-3}$
$\Rightarrow x\in {2;0;4;-2}$
$\Rightarrow y\in {6;-2;6}$
$b)2^x-3=65y$
Lời giải.
Vì $65\mid 65y$ nên phương trình có nghiệm nguyên thì $\text{VT}$ phải chia hết cho $65$ hay $\text{VT}$ cho hết cho $5$ và $13$. Từ đó suy ra:
$$5\mid 2^{x}-3\Rightarrow 2^{x}\equiv 3\pmod {5}\Rightarrow x\equiv 3\pmod {4}$$
Thích ngủ.
d)
xét tính chẵn lẽ ta có các TH để bài toán tạm thời thõa mãn
TH1: có 2 số chẵn ,1 số lẽ
TH2:3 số đều lẽ
TH3:3 số đều chẵn
Xét TH 1: lúc này VT $\equiv 2 (mod 4 )$ ,VP chia hết cho 4 (loại)
TH2 : VT đồng dư với 3 ( mod 4 ) ,VP đồng dư với 1 (mod 4 ) (loại )
xét TH 3 : đặt $x=2a,y=2b,z=2c \rightarrow a^2+b^2+c^2=\left ( 2ab \right )^2$ ,lúc này ta thấy a ,b,c tiếp tục đều chẵn ,lặp lại tuần tự các bước ta thấy đều đó chỉ xảy ra khi x=y=z = 0
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau :
$a) y(x-1)=x^2+2$
$b)2^x-3=65y$
$c)x!+y!=10z+9$
$d)x^2+y^2+z^2=x^2y^2$
Thêm một lời giải cho câu d)
Ta có thể xét ở tập các số nguyên dương.
Với $y=0\rightarrow (x,y,z)=(0;0;0)$
Với $x=1, hoặc y=1$ thì phương trình vô nghiệm
Với $x,y>0$, ta có: $x^2+y^2-x^{2}y^2=-z^2$.
Ta sẽ chứng minh: $x^2+y^2-x^2y^2<-xy$ (dễ dàng chứng minh bằng cách lập delta) . Như vậy $-z^2<-xy\Leftrightarrow z^2>xy\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-x^2y^2>x^2+y^2+xy-x^2y^2$
Ta sẽ chứng minh $x^2+y^2+xy-x^2y^2>0$
Ta có:
$x^2+y^2+xy-x^2y^2=(xy+x+y+\frac{1}{2})(xy-x-y+\frac{1}{2})-\frac{1}{4}$$>0(x,y> 1)$
Vậy với $x,y>0$ thì phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Bộ số $(x,y,z)$ nguyên duy nhất thỏa mãn là $(0;0;0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 04-09-2016 - 12:49
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Bắt đầu bởi Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$\frac{2023}{x + y}+\frac{x}{y+2022}+\frac{y}{4045}+\frac{2022}{x + 2023}=2$Bắt đầu bởi datzv423, 25-03-2023 đại số và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$Bắt đầu bởi Matthew James, 08-01-2023 phương trình nghiệm nguyên |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh