Chủ đề này có 6 trả lời

[misakichan]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

[NTA1907]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$\sum \sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}=\sum \sqrt{\left ( a\sqrt{2}+\frac{b}{2\sqrt{2}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{\frac{15}{8}}b \right )^{2}}\geq \sqrt{\left [ \sqrt{2}(a+b+c)+\frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c) \right ]^{2}+\frac{15}{8}(a+b+c)^{2}}=\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 04-09-2016 - 11:37

[ngothithuynhan100620]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Ta có: $\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)\iff \frac{3}{4}(a-b)^2\ge 0(TRUE)$.

Tương tự rồi cộng lại ta có dpcm.

[le truong son]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Cách khác: 

 $\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)$

Thiết lập các đẳng thức tương tự=>  đpcm

[hoangvunamtan123]

dạng này có hệ số ở a² và b² = nhau nên khỏe .cách tìm bất đẳng thức phụ ví dụ chung cho bài toán này : 

ta chứng minh $\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\geq ma+nb$ dễ thấy thì tìm min dấu = xảy ra khi a=b nên dễ tìm được m+n=$\sqrt{5}$ 

suy ra n=$\sqrt{5}-m\rightarrow 2a^2+ab+2b^2\geq (\sqrt{5}-n)^2a^2+n^2b^2+2n(\sqrt{5}-n)ab\Leftrightarrow (2n\sqrt{5}-n^2-3)a(a-b)+(n^2-2)b(a-b)\geq 0$ 

ta cố tách cho được phân tử a-b ,sau đó dấu = xảy ra thêm trong 1 TH $(2n\sqrt{5}-n^2-3)a+(n^2-2)b=0$ 

cứ cho a = b vào cái PT này sau đó ta tính được $2n\sqrt{5}a-5b=0\rightarrow n=\frac{b\sqrt{5}}{2a}$ 

b=a cho nên n=$\frac{\sqrt{5}}{2}$

[Hoang Duong]

Dạng này: https://drive.google...b09WZUVsUmJUTDg

[iloveyouproht]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Đối với những bài dạng như thế này , đầu tiên ta nhận thấy dấu = xảy ra tại a=b nên ta đưa nó về dạng : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}}$ Để tìm Min

Mà : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}} = \sqrt{(\alpha ^{2}+\gamma )x^{2}+(2\alpha \beta -2\gamma )xy+(\beta ^{2}+\gamma)y^{2} }$

Đồng nhất hệ số ta đưa nó về giải hệ : $$\left\{\begin{matrix} \alpha ^{2}+\gamma =2 \\2\alpha \beta -2\gamma =1 \\  \beta^{2}+\gamma=2\end{matrix}\right.$$

giải ra đươc : $\alpha =\beta =\sqrt{\frac{5}{2}} ; \gamma =\frac{3}{4}$

Sau đó đưa về cách giải của bạn le truong son đã đăng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 04-09-2016 - 15:32