Chủ đề này có 1 trả lời

[CaolacVC]

Xét tính liên tục của hàm số sau:

$$f(x;y) = \begin{cases} \frac{e^x-e^y}{x-y} & \quad \text{khi } x\ne y\\ e^x & \quad \text{khi } x=y\\ \end{cases}$$

[E. Galois]

TXĐ: $\mathbb{R}^2$

Dễ thấy với mọi $x \neq y$, hàm số đã cho liên tục. 

Xét tại điểm $(a;a)$. Ta có $f(a;a)=e^a$.

Hơn nữa hàm số $g(t)=e^t$ thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange trên mọi đoạn $[x;y]$ hoặc $[y;x]$ với $x\neq y$. Do đó tồn tại điểm $c \in (x;y)$ hoặc $c \in (y;x)$ sao cho:

$$f(x;y)=g'(c)=e^c$$

Khi $x \to a, y\to a$ thì $c\to a$

Do đó

$$\lim_{\begin{matrix} x\to a\\ y \to a \end{matrix}} f(x;y)=\lim_{c\to a} e^c=e^a=f(a;a)$$

Vậy hàm số liên tục tại $(a;a)$.

Do đó liên tục trên TXĐ