Chủ đề này có 1 trả lời

[huyqhx9]

cho các số không âm thỏa mạn $ab+bc+ac+6abc=9$.Chứng minh rằng: 

$a+b+c+3abc\geq 6$

[rfiyms]

cho các số không âm thỏa mạn $ab+bc+ac+6abc=9$.Chứng minh rằng: 

$a+b+c+3abc\geq 6$

Đề bài có chứa $a+b+c$, $ab+bc+ca$ và $abc$ nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến phương pháp $p$, $q$, $r$.

Đặt $a+b+c=p$, $ab+bc+ca=q$, $abc=r$ khi đó ta có $p\geq 3$.

Với $p\geq 6$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét $3\leq p\leq 6$.

Theo bất đẳng thức Schur ta có $p^{3}+9r\geq 4pq\Leftrightarrow 2p^{3}+3\left ( 9-q \right )\geq 8pq\Rightarrow q\leq \dfrac{2p^{3}+27}{8p+3}$.

Vậy ta cần chứng minh $p+3r\geq 6\Leftrightarrow 2p+9-q\geq 12\Leftrightarrow 2p-q-3\geq 0$.

Mặt khác ta có bất đẳng thức mạnh hơn là $2p-\dfrac{2p^{3}+27}{8p+3}-3\geq 0$ bất đẳng thức này chứng minh bằng biến đổi tương đương ta được $\left ( 6-p \right )\left ( p-3 \right )\left ( p+1 \right )\geq 0$ (đúng vì $3\leq p\leq 6$).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=3$, $c=0$ và các hoán vị.