Chủ đề này có 1 trả lời

[TNTFlashNo1]

cho dãy $\left \{ x_{n} \right \}+\infty ,n=1$

thỏa mãn:$x_{1}=1;x_{2n}=1+x_{n};x_{2n+1}=\frac{1}{x_{2n}}$

C/m:$\forall r\in Q+$ thì có duy nhất n là số dương sao cho $r=x_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TNTFlashNo1: 06-09-2016 - 11:33

[redfox]

Với $a,b\in \mathbb{Z}^+;gcd(a,b)=1$, viết $\frac{a}{b}=k_m+\frac{1}{k_{m-1}+\frac{1}{...+\frac{1}{k_2+\frac{1}{k_1}}}}$ trong đó $m,k_1,k_2,...,k_{m-1}\in \mathbb{Z}^+;k_m\in \mathbb{N}$.

Khi đó $n=1\underbrace{0..0}_{k_1-1}1\underbrace{0...0}_{k_2-1}1...1\underbrace{0...0}_{k_{m-1}-1}1\underbrace{0...0}_{k_m}$ (viết dưới dạng nhị phân) thoả mãn $x_n=\frac{a}{b}$.

Với mỗi phân số $\frac{a}{b}$, xác định duy nhất các số $m,k_1,k_2,...,k_m$ và xác định duy nhất $n$.

Với mỗi $n\in \mathbb{Z}$, xác định duy nhất các số $m,k_1,k_2,...,k_m$ và xác định duy nhất phân số $\frac{a}{b}$

Vậy đây là song ánh, dễ suy ra bài toán.

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 06-09-2016 - 14:59