Chủ đề này có 5 trả lời

[tuyen1481999]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ =3

Chứng minh rằng :$\frac{1}{2-a}$ + $\frac{1}{2-b}$ + $\frac{1}{2-c}$  $\geq$ 3

[NTA1907]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ =3

Chứng minh rằng :$\frac{1}{2-a}$ + $\frac{1}{2-b}$ + $\frac{1}{2-c}$  $\geq$ 3

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}=3$

$\Leftrightarrow \sum \left ( 1+\frac{a}{2-a} \right )\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-a}\geq 6 \Leftrightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

[rfiyms]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ =3

Chứng minh rằng :$\frac{1}{2-a}$ + $\frac{1}{2-b}$ + $\frac{1}{2-c}$  $\geq$ 3

Cách khác dùng phương pháp mình rất thích: $p$, $q$, $r$.

Quy đồng và thu gọn ta được bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$8p+3r\geq 12+5q$$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có:

$$3r\geq \dfrac{p\left ( 4q-p^{2} \right )}{3}=\dfrac{p\left ( 2q-3 \right )}{3}$$

$$\Leftrightarrow 8p+\dfrac{p\left ( p^{2}-6 \right )}{3}\geq 12+\dfrac{5\left ( p^{2}-3 \right )}{2}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2p-3 \right )\left ( p-3 \right )^{2}\geq 0$$

Bất đẳng thức cuối đúng, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

[tuyen1481999]

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}=3$

$\Leftrightarrow \sum \left ( 1+\frac{a}{2-a} \right )\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-a}\geq 6 \Leftrightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cám ơn anh ạ, Nhưng anh ơi, làm sao anh biến đổi được từ  " Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$ "

lúc đầu là bdt côsi , sau đó thì làm sao ra được vế  $\frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

Rồi cái tổng đó có ý nghĩa gì mà nó lại lớn hơn = a^2 =3

Giaỉ thích giùm em nghen, em hơi dốt phần này

[NTA1907]

Cám ơn anh ạ, Nhưng anh ơi, làm sao anh biến đổi được từ  " Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$ "

lúc đầu là bdt côsi , sau đó thì làm sao ra được vế  $\frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

Rồi cái tổng đó có ý nghĩa gì mà nó lại lớn hơn = a^2 =3

Giaỉ thích giùm em nghen, em hơi dốt phần này

$a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow 1\geq a(2-a)\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}$

Bất đẳng thức trên là dạng viết tắt của:

$\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

[tuyen1481999]

Ah em cám ơn nhé 

 

$a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow 1\geq a(2-a)\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}$

Bất đẳng thức trên là dạng viết tắt của:

$\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$