Chủ đề này có 1 trả lời

[RealCielo]

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ] a+b+c=2$

Tìm min: P= $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}+\frac{3}{4}(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 06-09-2016 - 21:39

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ] a+b+c=2$

Tìm min: P= $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}+\frac{3}{4}(ab+bc+ca)$

Bằng $UTC$, ta sẽ chỉ ra rằng: 

 

$$\frac{1}{x^{2}+1}\geq 1-\frac{x}{2} \quad \quad \forall x \in \left [ 0;1 \right ]$$

 

Thật vậy, BĐT trên tương đương với: $x^{3}-2x^{2}+x\geq 0\Leftrightarrow x\left ( x-1 \right )^{2}\geq 0$    ( luôn đúng )

 

Vậy: $P\geq \sum \left ( a+1 \right )\left ( 1-\frac{b}{2} \right )+\frac{3}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\\=4+\frac{1}{4}\left ( ab+bc+ca \right )$

 

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: $ab+bc+ca\geq 1$

 

Ta có: $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\leq 0\\\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 1+abc\geq 1$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{17}{4}$

 

Vậy $\min P=\frac{17}{4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=1 & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị 

 

Bài toán được giải quyết $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 06-09-2016 - 20:35