Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 06-09-2016 - 22:28

ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng - Lê Quý Đôn Đà Nẵng)

Ngày 1: 

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1  \end{matrix}\right.$

Bài 2: Gọi $x$ là số thực bất kì. Xét dãy số $(a_{m,n})$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} a_{i,0}=\frac{x}{2^{i}}\\a_{i,(j+1)}=a_{i,j}^2+2a_{i,j}  \end{matrix}\right.(i,j=0,1,2,...)$.

Tìm $lim_{n\to +\infty} a_{n,n}$.

Bài 3: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ và có đường cao $AH$. Gọi $T,T'$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $H$ xuống $AB,AC$. Chứng minh rằng: $AC=2OT\iff AB=2OT'$.

Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp hữu hạn $A\subset N^{*}$ sao cho tồn tại tập hữu hạn $B\subset N^{*}$ thỏa mãn: $A\subset B$ và $\sum_{x\in B}x=\sum_{x\in A}x^2$.

Ngày 2:

Bài 5: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a\ge 2,b\ge 1,c\ge 6$ và $a+b+c=10$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$F=a^3b^2c$.

Bài 6: Có tồn tại hay không cấp số cộng vô hạn $(a_n)\subset N^{*}$ thỏa mãn với mọi $n\in N^{*}$ thì: $a_n+a_{n+1}+...+a_{n+9}|a_na_{n+1}...a_{n+9}$.

Bài 7: Ta viết các số từ $0$ đến $9$ vào các ô của một bàn cờ $10X10$, mỗi số được sử dụng đúng $10$ lần. Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột của bàn cờ chứa nhiều hơn $3$ số đôi một phân biệt. 


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 06-09-2016 - 23:00

Lấy $PT(1)+3PT(2)$ ta được $4x^2+4y^2+z^2-4xy+2yz-4zx=0$

$\Leftrightarrow (y+z-2x)^2+3y^2=0$

Suy ra $y=0$ và $y+z-2x=0\implies z=2x$

Thế vào $PT(2)$ ta có $x^2-2x^2=-1\implies \left[\begin{array}{ll}x=1;\ z=2\\ x=-1;\ z=-2\end{array}\right.$

Vậy PT có 2 nghiệm là $\color{red}{(1;0;2)},\ \color{blue}{(-1;0;-2)}$



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 07-09-2016 - 09:15

Bài $2$ : 
Theo công thức đề bài

$$a_{i,(j+1)}+1=(a_{i,j}+1)^{2}=(a_{i,j-1},+1)^{2^{2}}=(a_{i,j-2}+1)^{2^{3}}=....(a_{i,j-j}+1)^{2^{j+1}}=(\frac{x}{2^{i}}+1)^{2^{j+1}}$$

Bây giờ cho $i=j+1$ ta có 

$$lim_{i \to \infty} ( \frac{x}{2^{i}}+1)^{2^{i}} = e^{x}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-09-2016 - 10:05

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 quochungtran

quochungtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn đà nẵng
  • Sở thích:xem phim, làm toán , nghe nhạc

Đã gửi 07-09-2016 - 20:02

Câu 6)

         Giả sử tồn tại cấp số cộng vô hạn (an)  thỏa mãn an + an+1 + ...+ an+9 |  anan+1...an+9  (*) với mọi n $\epsilon$ N*. 

 a1 = a.   an+1 = an + d (d $\neq$ 0 ) d xác định

Suy ra    an+2 = an + 2d

               ...

              an+9  = an + 9d

                (*) tương đương 10an + 45d | an(an + d)( an + 2d)...( an + 9d).

<=>                                     10an + 45d | 10an 10(an + d)  10( an + 2d) ... 10( an + 9d).

<=>                                     10an + 45d | 10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d).

lại có     10an + kd $\equiv$  (k-45)d (mod 10an + 45d) ,  k=0,10,..., 90.

suy ra   10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d)  $\equiv$  $\prod$ (k-45) d10 ( mod 10an + 45d).    vs k=0,10,..., 90.

       <=>    | $\prod$ (k-45) d10  |  $\equiv$ 0 ( mod |10an + 45d |). vs k=0,10,..., 90.

vì  dãy (an) tăng hoặc giảm và có vô hạn số nên tồn tại n0  đủ lớn sao cho |10ano + 45|  >    | $\prod$ (k-45) d10 |  vs k=0,10,..., 90.

suy ra |10an + 45|  không là ước của  | $\prod$ (k-45) d10 | ( mâu thuẫn ) 

Vậy không tồn tại cấp số cộng  (an)  thỏa mãn


~O)  ~O)  ~O)  :excl:  :excl:  :excl:  ~O)  ~O)  ~O)  :ukliam2:


#5 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 07-09-2016 - 22:46

Bài 5: $(a;b;c)\rightarrow (x+2,y+1,z+6),f(x,y,z)=(x+2)^3(y+1)^2(z+6),g(x,y,z)=x+y+z-1,x,y,z\ge 0$.

Từ giả thiết: $a+b+c=10\implies g(x,y,z)=0\implies x,y,z\in [0;1]$.

Sử dụng phương pháp hàm số, ta chứng minh được:

$f(0,0,1)\le f(x,y,z)\le f(\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)$.

Vậy $\left\{\begin{matrix} F_{min}=f(0,0,1)=56\iff (a;b;c)=(2,1,7)\\F_{max}=f(\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)=\frac{663552}{3125}\iff (a,b,c)=(\frac{12}{5},\frac{8}{5},6)  \end{matrix}\right.$


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#6 CandyPanda

CandyPanda

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 08-09-2016 - 01:07

Bài hình bạn xem lại xem, hình như bị sai



#7 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 08-09-2016 - 23:29

Bài 7: Gọi:

-$C_i, R_i$ lần lượt là số các số phân biệt trong cột, hàng thứ $i$.

-$c_i, r_i$ lần lượt là số các cột, hàng chứa $i$.

Ta có:    

-$\sum_{i=0}^{9}C_i=\sum_{i=0}^{9}c_i, \sum_{i=0}^{9}R_i=\sum_{i=0}^{9}r_i$.

-$c_ir_i\geq 10$ (giao của $c_i$ cột và $r_i$ hàng chứa tất cả số $i$).

-$c_i+r_i\geq 2\sqrt{c_ir_i}\geq 2\sqrt{10}$ (AM-GM).

Từ đó $\sum_{i=0}^{9}(C_i+R_i)\geq 20\sqrt{10}$, do đó tồn tại ít nhất một số trong $20$ số $C_i, R_i$ lớn hơn $\sqrt{10}$ hay lớn hơn $3$.

(Q.E.D)



#8 sptoanchien

sptoanchien

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 25-09-2016 - 23:03

Lấy $PT(1)+3PT(2)$ ta được $4x^2+4y^2+z^2-4xy+2yz-4zx=0$

$\Leftrightarrow (y+z-2x)^2+3y^2=0$

Suy ra $y=0$ và $y+z-2x=0\implies z=2x$

Thế vào $PT(2)$ ta có $x^2-2x^2=-1\implies \left[\begin{array}{ll}x=1;\ z=2\\ x=-1;\ z=-2\end{array}\right.$

Vậy PT có 2 nghiệm là $\color{red}{(1;0;2)},\ \color{blue}{(-1;0;-2)}$

Bài này có thể dùng tam thức bậc hai sẽ tự nhiên hơn

Ta có Phương trình (1): $(x+y)^2-z(x+y)+z^2-3=0$ có nghiệm nếu $z^2-4(z^2-3)$ Suy ra $z^2 \leq 4$

Tương tự phương trình (2) ta sẽ tìm được $z^2\geq 4$ Do đó ta tìm được $z=2$ hoặc $z = -2$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh