ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng - Lê Quý Đôn Đà Nẵng)
Ngày 1:
Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1 \end{matrix}\right.$
Bài 2: Gọi $x$ là số thực bất kì. Xét dãy số $(a_{m,n})$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} a_{i,0}=\frac{x}{2^{i}}\\a_{i,(j+1)}=a_{i,j}^2+2a_{i,j} \end{matrix}\right.(i,j=0,1,2,...)$.
Tìm $lim_{n\to +\infty} a_{n,n}$.
Bài 3: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ và có đường cao $AH$. Gọi $T,T'$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $H$ xuống $AB,AC$. Chứng minh rằng: $AC=2OT\iff AB=2OT'$.
Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp hữu hạn $A\subset N^{*}$ sao cho tồn tại tập hữu hạn $B\subset N^{*}$ thỏa mãn: $A\subset B$ và $\sum_{x\in B}x=\sum_{x\in A}x^2$.
Ngày 2:
Bài 5: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a\ge 2,b\ge 1,c\ge 6$ và $a+b+c=10$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$F=a^3b^2c$.
Bài 6: Có tồn tại hay không cấp số cộng vô hạn $(a_n)\subset N^{*}$ thỏa mãn với mọi $n\in N^{*}$ thì: $a_n+a_{n+1}+...+a_{n+9}|a_na_{n+1}...a_{n+9}$.
Bài 7: Ta viết các số từ $0$ đến $9$ vào các ô của một bàn cờ $10X10$, mỗi số được sử dụng đúng $10$ lần. Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột của bàn cờ chứa nhiều hơn $3$ số đôi một phân biệt.