Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

Giả sử $m,n$ là các số nguyên dương sao cho $mn+1,mn+2n+1$ là số chính phương . Chứng minh $4(m+1) \mid n$

[redfox]

Vì $mn+1, mn+2n+1$ là hai số chính phương cùng tính chẵn lẻ nên tồn tại hai số nguyên dương $a, b$ để $mn+1=\left ( \frac{a-b}{2} \right )^2, mn+2n+1=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2\Rightarrow m+1=\frac{a^2+b^2-1}{2ab}, n=2ab$. Ta đưa bài toán về chứng minh: nếu $\frac{a^2+b^2-1}{2ab}=k\in \mathbb{N} \Rightarrow 2k\mid ab$. Cố định $k$ đưa về pt bậc hai ẩn $a$: $a^2-2kba+b^2-1=0$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a>b$ ($a=b$ không thoả). Khi đó pt bậc hai còn có nghiệm $c$ sao cho $ac=b^2-1, a+c=2kb$ (Viete). Ta có $c$ nguyên không âm, $c=\frac{b^2-1}{a}<b$.

-Giả sử $b>1$ thì $c>0$. Ta có nếu $2k\mid bc=b(2k-a)\Rightarrow 2k\mid ab$ nên ta chỉ cần chứng minh $2k\mid bc$. Làm vậy đến khi thu được cặp số $(a,b)$ có $b$ nhỏ nhất. Dễ có $c=0\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2k\Rightarrow 2k\mid ab$.

(Q.E.D)

Viete everywhere.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 09-09-2016 - 22:11

[I Love MC]

Vì $mn+1, mn+2n+1$ là hai số chính phương cùng tính chẵn lẻ nên tồn tại hai số nguyên dương $a, b$ để $mn+1=\left ( \frac{a-b}{2} \right )^2, mn+2n+1=\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2\Rightarrow m+1=\frac{a^2+b^2-1}{2ab}, n=2ab$. Ta đưa bài toán về chứng minh: nếu $\frac{a^2+b^2-1}{2ab}=k\in \mathbb{N} \Rightarrow 2k\mid ab$. Cố định $k$ đưa về pt bậc hai ẩn $a$: $a^2-2kba+b^2-1=0$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a>b$ ($a=b$ không thoả). Khi đó pt bậc hai còn có nghiệm $c$ sao cho $ac=b^2-1, a+c=2kb$ (Viete). Ta có $c$ nguyên không âm, $c=\frac{b^2-1}{a}<a$.

-Giả sử $b>1$. Ta có nếu $2k\mid bc=b(2k-a)\Rightarrow 2k\mid ab$ nên ta chỉ cần chứng minh $2k\mid bc$. Làm vậy đến khi thu được cặp số $(a,b)$ có $b$ nhỏ nhất. Dễ có $c=0\Rightarrow b=1\Rightarrow a=2k\Rightarrow 2k\mid ab$.

(Q.E.D)

Viete everywhere.

Cách bạn hay nhỉ còn 1 cách khác nhưng dài nên post sau

[I Love MC]

Giả sử $n$ là số nguyên dương thỏa $mn+1$ và $(m+2)n+1$ đều là số chính phương . Ta có : 
Đặt $(mn+1)(mn+2n+1)=y^2$ suy ra $[m(m+2)n+m+1]^2-m(m+2)y^2=1$ (1)
Với $x=m(m+2)n+m+1$ thì ta được phương trình Pell : $x^2-m(m+2)y^2=1$  
Tìm được nghiệm 
$\begin{cases} &x_0=1,x_1=1,x_{n+2}=2(m+1)x_{n+1}-x_n&\\&y_0=0,y_1=1,y_{n+2}=2(m+1)y_{n+1}-y_n& \end{cases}$ 
Ta có $x_k \equiv m+1 \pmod{m(m+2)}$ khi $2 \mid k$ 
$x_k \equiv 1 \pmod{m(m+2)}$ khi $2 \not \mid k$
Suy ra  tập tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa phương trình (1) là dãy $\{n_k\}$ được xác định bởi 
$n_k=\frac{x_{2k+1}-m-1}{m(m+2)}$  
Bên cạnh ta có : 
$x_{2k+3}=2(m+1)x_{2k+2}-x_{2k+1}=2(m+1)(2(m+1)x_{2k+1}-x_{2k})-x_{2k-1}=(4(m+1)^2-2)x_{2k+1}-x_{2k-1}$  
Thay $x_{2k+1}=m(m+2)n_k+m+1$ vào và rút gọn ta được dãy $\{n_k\}$ : 
$\begin{cases} &n_0=0,n_1=4(m+1)&\\&n_{k+1}=[4(m+1)^2-2]n_k-n_{k-1}+4(m+1)& \end{cases}$ 
$\Rightarrow 4(m+1)|n_k$ 
Ta sẽ chứng minh $mn_k+1$ và $(m+2)n_k+1$ là số chính phương 
Ta có $\frac{n_{k+2}+n_k-4(m+1)}{n_{k+1}}=4(m+1)^2-2$ 
$\Rightarrow n_{k+2}n_k+n_k^2-4n_k(m+1)=n_{k+1}^2+n_{k+1}n_{k-1}-4n_{k+1}(m+1)$ 
$\Leftrightarrow n_{k+2}n_k-n_{k+1}^2+4n_{k+1}(m+1)=n_{k+1}n_{k-1}-n_k^2+4n_k(m+1)=n_2n_0-n_1^2-4n_1(m+1)=0$ 
Do đó $(mn_k+1)(mn_{k+2}+1)=m^2(n_{k+1}^2-4n_{k+1}(m+1))+m(4(m+1)^2+4(m+1))+1=(mn_{k+1}+2m+1)^2$ 
Mà $mn_0+1=1,mn_1+1=(2m+1)^2$ nên bằng quy nạp ta được $mn_k+1$ là số chính phương 
Tương tự ta có $[(m+2)n_k+1][(m+2)n_{k+2}+1]=[(m+2)n_{k+1}-2m-3]^2$ mà $(m+2)n_0+1=1,(m+2)n_1+1=(2m+3)^2$ 
Theo quy nạp ta được $(m+2)n_k+1$ là sso chính phương 
Vậy $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $mn+1$ và $(m+2)n+1$ đều là các số chính phương $\Leftrightarrow n \in \{n_k\}$ mà $4(m+1)|n_k$ 
$\Rightarrow$ Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 09-09-2016 - 21:20