Chủ đề này có 2 trả lời

[leminhnghiatt]

Bài toán: Tìm công thức tổng quát tính tổng:

 

$S=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ (với $n,k \in Z$)

 

Tổng trên nên được xây dựng bằng công thức tổng quát hay công thức truy hồi thì hay hơn

[An Infinitesimal]

Bài toán: Tìm công thức tổng quát tính tổng:

 

$S=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ (với $n,k \in Z$)

 

Tổng trên nên được xây dựng bằng công thức tổng quát hay công thức truy hồi thì hay hơn

Xin thử giải quyết với $n, k \in \mathbb{N}.$

Đang trong tiến trình ...

Thử dùng phương pháp sai phân nghĩa là cố tìm $m^k =a_{m+1}- a_m$ với $\forall m =1, 2, ..., n.$ 

Có lẽ nên tìm $a_m$ như một đa thức bậc $k+1$ theo $m$: $\sum_{j=0}^{k+1} b_jm^j$.

Điều kiện ràng buộc

$$\sum_{j=0}^{k+1} b_j \left((m+1)^j-m^j\right).$$

[Baoriven]

Chúng ta có thể dùng hệ thức truy hồi.

Ta có với mọi $i$ thì:

$(i+1)^{k+1}-i^{k+1}=\sum_{j=0}^{k}C_{j}^{k+1}.i^j$

Ta có công thức truy hồi sao:

$P_{k}(n)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{j=0}^{k-1}C_{j}^{k+1}P_{j}(n)}{k+1}$