Cho a,b,c thực dương thỏa : $\sum a= \sum \frac{1}{a}$
CM: $\sum ab.(\sum\sqrt{ab} )^2\geq 27$
Cho a,b,c thực dương thỏa : $\sum a= \sum \frac{1}{a}$
CM: $\sum ab.(\sum\sqrt{ab} )^2\geq 27$
Cho a,b,c thực dương thỏa : $\sum a= \sum \frac{1}{a}$
CM: $\sum ab.(\sum\sqrt{ab} )^2\geq 27$
Đặt $x=ab$, $y=bc$, $z=ca$ thì $a=\sqrt{\dfrac{zx}{y}}$, $b=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$, $c=\sqrt{\dfrac{yz}{x}}$ và $x+y+z=xy+yz+zx$.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$$\left ( x+y+z \right )\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right )^{2}\geq 27$$
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được: $\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right) \geq (ab+bc+ca)^3$ $\Leftrightarrow \left(ab+bc+ca\right)\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)^2 \geq \dfrac{(ab+bc+ca)^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
Ta cần chứng minh:$\left(ab+bc+ca\right)^4 \geq 27\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)$
Đặt $x=ab+bc+ca$, chú ý rằng do $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ nên $ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)$
Mặt khác: $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)=x^2-2x$
Do đó ta cần chứng minh: $x^4 \geq 27(x^2-2x) \Leftrightarrow x(x+6)(x-3)^2 \geq 0 \text{ (hiển nhiên đúng)}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh