Bài $1$: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{1}{2} & \\ a_{n+1}=a_n+\frac{n^2}{2013} & \end{matrix}\right.n\geqslant 1$.
$a)$ Chứng minh rằng dãy tăng nhưng không bị chặn trên
$b)$ Tính $\lim S_n=\sum_{i}^{n}\frac{1}{a_i+2013}$
Bài $2$: Cho $a>0$, xét $(x_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x_1=a & \\ x_{n+1}=\frac{x_n\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{x_n+1} & \end{matrix}\right.$ (trên tử có $n$ dấu căn)
Tính $\lim x_n$
Bài $3$: Cho $\alpha \in (0;1)$. Xét $(u_n)$ với $\left\{\begin{matrix} u_1=\alpha & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}.u_n^2+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_n} & \end{matrix}\right.$
$a)$ Chứng minh rằng $0<u_n<1$
$b)$ Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính $\lim u_n$
Bài $4$: Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\frac{x_n^2+2018}{2(x_n-1)} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
