Chủ đề này có 2 trả lời

[chachacha]

Tìm k,a,b nguyên dương sao cho a²+b²-kab+k=0

[toannguyenebolala]

Tìm k,a,b nguyên dương sao cho a²+b²-kab+k=0

Lâu rồi mới động vô Vieta Jumping nên có hơi dài dòng, bạn thông cảm .

Dễ dàng nhận thấy $k\geq 3$.

Với $k=3$ suy ra $a^2+b^2=3ab-3=3(ab-1)$ 

Suy ra $a^2+b^2\vdots 3$. Vì các số bình phương chia cho 3 chỉ nhận 2 giá trị dư là 0 và 1. Cho nên $a^2,b^2\vdots 3=>a,b\vdots 3$

Từ đây ta có $VT\vdots 9$ và VP không chia hết cho 9 (mình quên mất cái latex của cái này thì phải ), dẫn đến $k>3$

Giả sử cặp $(a_{0},b_{0})$ là cặp số nguyên dương có tổng $a_{0}+b_{0}$ bé nhất thỏa mãn phương trình $a^2+b^2-kab+k=0$. Không làm giảm tính tổng quát, giả sử $a\geq b$

Xét phương trình ẩn a sau $a^2-kab+(b^2+k)=0$.

Phương trình này có một nghiệm nguyên dương là $a_{0}$, theo Viete, tồn tại một nghiệm $a_{1}$ nữa và theo giả sử cực hạn bên trên thì $a_{1}\geq a_{0}$

Theo định lý Viete, ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} a_{0}+a_{1}=kb & & \\ a_{0}.a_{1}=b^2+k& & \end{matrix}\right.$

Để ý rằng $2at\geq kb^2=>2b^2+2k\geq kb^2=>b^2\leq \frac{2k}{k-2}$

Vì $k\geq 4$ (chứng minh trên) suy ra $b^2\leq 4=>b\in (1;2)$

Với mỗi giá trị của b, bạn thay vào rồi tìm a dễ dàng (cái này nhường lại cho bạn )

Kết quả, các bộ ba số (a,b,k) thỏa mãn là $(3;1;5),(2;1;5),(1;2;5),(9;2;5)$

...................

Nếu mình nhớ không nhầm thì đề này là Vietnam TST 1992 thì phải, bạn nên tìm hiểu thêm về phương pháp này nếu chưa hiểu qua các bài  Juliel's blog

[redfox]

$k=5$ đúng rồi nhưng bạn mới chỉ tìm cặp $(a,b)$ sao cho $a+b$ nhỏ nhất. Mà bạn nên tìm cặp $(a;b)$ sao cho $b$ nhỏ nhất là $b=1$

Các cặp còn lại xác định bởi dãy truy hồi: $x_1=1, x_2=2; x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n$ hoặc $y_1=1, y_2=3; y_{n+2}=5y_{n+1}-y_n$ và lấy $(a;b)=(x_{n+1};x_n)$ hoặc $(a;b)=(y_{n+1};y_n)$ và hoán vị.

Latex là \mid nhé. Chúc bạn học giỏi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 10-09-2016 - 13:44