Chủ đề này có 5 trả lời

[Le Dinh Hai]

Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

[An Infinitesimal]

Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

 

Điều kiện cho $a$: $a>0$.

 

"BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$

\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]

Xét $f(t)=\frac{\ln{(t+1)}}{t}$  với $t \in D:=(-1,0)\cup (0, \infty).$

 

\[f'(x)=\frac{1}{x^2}\left(\frac{x}{x + 1} - \ln{(x + 1)}\right)<0\quad\forall x\in D.\]

(kiểm tra thông qua phép đặt ẩn phụ $t=\ln{(x+1)}, e^t\ge t+1.$)

Do đó 

Phần bên dưới sai sót và được sửa lại như bên dưới

\[\lim_{x\to \infty}\frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le \lim_{t\to 0^{-}}\frac{\ln{(t+1)}}{t}.\]

\[\iff 0\le \ln a \le e.\]

\[\iff  a= e.\]

 

 

\[\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le \lim_{t\to 0^{-}}\frac{\ln{(t+1)}}{t}.\]

\[\iff e \le \ln a \le (?).\]

\[\iff e \le a\le e.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-09-2016 - 23:28

[Le Dinh Hai]

Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.

Cho mình hỏi tại sao có điều này với:

 "BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$

$\[\iff \frac{\ln{(x+1)}}{x} \le \ln{a} \le\frac{\ln{(t+1)}}{t} \quad\forall x>0, \forall t \in (-1,0).\]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 09-09-2016 - 22:01

[Ankh]

Tìm $a \in \mathbb{R}$ sao cho $a^x-x-1 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

 Nếu $a\leq 1$ thì cho $x$ tiến ra vô cùng dẫn tới điều vô lí

 Khi $a>1$, bất phương trình viết lại thành $a^x\geq 1+x$

 Với $x\leq 0$, bất phương trình trên đúng với mọi $a>1$

 Với $x>0$ thì nó có thể viết lại tiếp thành $a\geq (1+x)^\frac{1}{x}$, cho $x$ tiến về $0$ suy ra $a\geq e$

 Với $a\geq e$ thì bất đẳng thức của ta đúng bằng cách kiểm tra với đạo hàm, từ đó ta có thể suy ra kết luận của bài toán

[An Infinitesimal]

Với $a=1$ ta có: $a^x-x-1=-x < 0 \forall x >0$.

 

 

Sai sót do tính toán nên sai kết quả!

 

 

 

Cho mình hỏi tại sao có điều này với:

 "BPT" đúng với mọi $x\in \mathbb{R} \iff x\ln a \ge \ln{(x+1)} \quad\forall x>-1, x\neq 0.$

 

 

 

Vì \[a^x\ge x+1.\]

Với $x\le -1$ thì BĐT trở nên hiển nhiên và $x=0$, BĐT cũng đúng!

 

Phần tính toán sẽ kiểm tra và cập nhật! Đã cập nhật!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-09-2016 - 23:29

[An Infinitesimal]

 

 Với $a\geq e$ thì bất đẳng thức của ta đúng bằng cách kiểm tra với đạo hàm, từ đó ta có thể suy ra kết luận của bài toán

Chỉ đúng với x\ge 0, với x\le không chắc đúng. Thử nghiệm cho thấy phương trình $3^x-x-1=0$ có hai nghiệm đơn. Suy ra $a=3>e$ không là giá trị cần tìm.