Chủ đề này có 5 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho $x,y,z\geq 0;x+y+z=4.$

Tìm max: $A=\sum x^{3} +8(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})$

Bài này mình mò được điểm rơi là $\left ( 0;2;2 \right )$ mà chưa tìm được cách.

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z\geq 0;x+y+z=4.$

Tìm max: $A=\sum x^{3} +8(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})$

Bài này mình mò được điểm rơi là $\left ( 0;2;2 \right )$ mà chưa tìm được cách.

 

Giả sử một số nằm giữa hai số còn lại.

[superpower]

Cho $x,y,z\geq 0;x+y+z=4.$

Tìm max: $A=\sum x^{3} +8(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})$

Bài này mình mò được điểm rơi là $\left ( 0;2;2 \right )$ mà chưa tìm được cách.

Đặt $f(x,y,z) = \sum x^3 + 8(xy^2+yz^2+zx^2) $

Ta có $f(x+z,y+z,0) = (x+z)^3 + (y+z)^3 + 8(x+z)(y+z)^2 $

Ta chứng minh $f(x,y,z) \leq f(x+z,y+z,0 ) $

Là hiển nhiên

Do đó, ta càn tìm max của

$B= a^3+b^3+8.ab^2 $ với $a+b \leq 4 $

Tới đây dễ rồi

[Nguyenhuyen_AG]

Đặt $f(x,y,z) = \sum x^3 + 8(xy^2+yz^2+zx^2) $

Ta có $f(x+z,y+z,0) = (x+z)^3 + (y+z)^3 + 8(x+z)(y+z)^2 $

Ta chứng minh $f(x,y,z) \leq f(x+z,y+z,0 ) $

Là hiển nhiên

Do đó, ta càn tìm max của

$B= a^3+b^3+8.ab^2 $ với $a+b \leq 4 $

Tới đây dễ rồi

 Bước dồn biến của em sai rồi.

[superpower]

 Bước dồn biến của em sai rồi.

Sao sai vậy anh, anh chỉ em với

[Nguyenhuyen_AG]

Sao sai vậy anh, anh chỉ em với

 

Với bất đẳng thức có điều kiện $g(a_1,a_2,\ldots,a_n) = 0,$ muốn dồn biến

\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n) \geqslant f(b_1,b_2,\ldots,b_n),\]

hay

\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n) \leqslant f(b_1,b_2,\ldots,b_n)\]

thì cần phải có $g(b_1,b_2,\ldots,c_n) = 0.$