Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Van Luc]

Mọi người giúp em 2 bài này với ạ! 

1, Cho $a,b,c$ là  3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh rằng $a+b+c \leq  3$

2, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4$

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2+12 \geq 5(ab+bc+ca)$

[L Lawliet]

Mọi người giúp em 2 bài này với ạ! 

1, Cho $a,b,c$ là  3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh rằng $a+b+c \leq  3$

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành $$\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{c}{2} \right )^{2}+2.\frac{a}{2}.\frac{b}{2}.\frac{c}{2}=1$$

Từ đó suy ra $0<\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}\leq 1$. Như vậy tồn tại $A,B,C$ thỏa $A+B+C=\pi$ và $\frac{a}{2}=cosA,\frac{b}{2}=cosB,\frac{c}{2}= cosC$.

Từ một BĐT cơ bản $$cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$$ ta có ngay $a+b+c\leq 3$

Xem thêm bài toán ngược ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-09-2016 - 23:26

[Nguyen Van Luc]

Xem thêm bài toán ngược ở đây

Bài này mình lấy phần dùng Đạo Hàm CM BĐT, bạn có cách nào dùng đạo hàm ko bạn?

[Baoriven]

Câu 1 có thể giải theo Dirichlet.

Ta có trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ tồn tại hai số cùng dấu, giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0$

Suy ra: $a+b-1\leq ab$.

Ta chứng minh $ab\leq 2-c$.

Chú ý rằng: $4=(a^2+b^2)+c^2+abc\geq 2ab+c^2+abc\Rightarrow ab\leq 2-c$

Do đó: $a+b-1\leq ab\leq 2-c\Rightarrow a+b+c\leq 3$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.