Chủ đề này có 9 trả lời

[S dragon]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

[toannguyenebolala]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

Ta có $VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}+\frac{6}{a+b+c}=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{6}{a+b+c}$

Ta dễ dàng chứng minh $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$ với a,b,c>0 bằng AM-GM

Lúc này $VT\geq a+b+c+\frac{6}{a+b+c}=a+b+c+\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{a+b+c}\geq 6-\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=6-1=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toannguyenebolala: 11-09-2016 - 18:29

[Minh Hieu Hoang]

Ta có $VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}+\frac{6}{a+b+c}=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{6}{a+b+c}$

Ta dễ dàng chứng minh $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$ với a,b,c>0 bằng AM-GM

Lúc này $VT\geq a+b+c+\frac{6}{a+b+c}=a+b+c+\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{a+b+c}\geq 6-\frac{3}{3\sqrt[3]{abc}}=6-1=5$

.............

Lưu ý tính chất sau $abc=1=>\sum \frac{1}{a}\geq \sum a$

chỗ này vi diệu quá

[toannguyenebolala]

chỗ này vi diệu quá

Vi diệu sao nhỉ

[Minh Hieu Hoang]

Bất đẳng thức tương đương : $(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6\geq 0$

Mà $a+b+c\geq 3;ab+bc+ca\geq 3$ (abc=1)

Do đó bđt trên đc cm

[Minh Hieu Hoang]

Vi diệu sao nhỉ

$\frac{abc}{a}= \frac{bc}{a}$ ??

[toannguyenebolala]

$\frac{abc}{a}= \frac{bc}{a}$ ??

cảm ơn bạn, mình thật ngu bò hết sức

[Death Note]

cảm ơn bạn, mình thật ngu bò hết sức

ko sao đâu đúng sai là chuyện bình thường mà 

[Pham Quoc Thang]

Ta đi chứng minh: $f\left( a,b,c \right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c}-5\ge 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\max \left\{ a,b,c \right\}$

Trước hết ta sẽ chứng minh $f\left( a,b,c \right)\ge f\left( a,t,t \right)$ , trong đó: $t=\sqrt{bc}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}>0$

 Xét hiệu: $d=f\left( a,b,c \right)-f\left( a,t,t \right)$

Ta có: $$d=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c}-5-\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}}-5 \right)$$

$$=\dfrac{\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}}{bc}-\dfrac{6\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}}{\left(a+b+c\right)\left(a+2\sqrt{bc}\right)}=\left( \sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{bc}-\dfrac{6}{\left(a+b+c\right)\left(a+2\sqrt{bc}\right)}\right)$$

$$={\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}}\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a+2\sqrt{bc}\right)-6bc}{bc\left(a+b+c\right)\left(a+2\sqrt{bc}\right)}\ge {\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}}\dfrac{3\sqrt{bc}.3\sqrt{bc}-6bc}{bc\left(a+b+c\right)\left(a+2\sqrt{bc}\right)}\ge 0$$

Ta cần chứng minh$f\left( a,t,t \right)\ge 0$ với $a=\dfrac{1}{{{t}^{2}}}$

Ta có: $ f\left( a,t,t \right)=f\left( \dfrac{1}{{{t}^{2}}},t,t \right)={{t}^{2}}+\dfrac{2}{t}+\dfrac{6}{\dfrac{1}{{{t}^{2}}}+2t}-5\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}\left( 2{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-t+2 \right)\ge 0 $

Nếu $t\ge \dfrac{1}{2}$ thì $2{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-t+2=2{{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}+t\left( 4{{t}^{2}}-1 \right)>0$

Nếu $t\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right)$ thì $2{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-t+2=2{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}+\left( 1-4{{t}^{2}} \right)+1-t>0$

Suy ra $f\left( a,t,t \right)\ge 0$

Vậy: $f\left( a,b,c \right)\ge f\left( a,t,t \right)\ge 0$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ \\

[hoangvunamtan123]

Bất đẳng thức tương đương : $(a+b+c)(ab+bc+ca-5)+6\geq 0$

Mà $a+b+c\geq 3;ab+bc+ca\geq 3$ (abc=1)

Do đó bđt trên đc cm

sai rồi , t từng làm 1 bài dạng này ,cách đó là sai nhé