Chủ đề này có 2 trả lời

[duyanh782014]

Cho tam giác ABC trọng tâm G. D,E,F là hình chiếu của G trên BC,CA,AB.CMR $BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$

[duyanh782014]

help

[Little Boy]

Cho tam giác ABC trọng tâm G. D,E,F là hình chiếu của G trên BC,CA,AB.CMR $BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$

Trước tiên ta áp dụng hệ thức Jacobi(tham khảo tại đây )

Ta có: $S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}+S_{c}.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}-S_{c}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}(S_{a}-S_{c})+\overrightarrow{GB}(S_{b}-S_{c})=\overrightarrow{0}$

Dễ thấy $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$ không cùng phương nên $S_{b}-S_{c}=S_{a}-S_{c}=0$

Do đó $S_{a}=S_{b}=S_{c}$

Kẻ các vecto đơn vị e₁,e₂,e₃ ra phía ngoài tam giác vuông góc với BC,CA,AB

$BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}$=$\sum BC^2.GD.\overrightarrow{e_{1}}=\sum 2S_{a}.BC.\overrightarrow{e_{1}}=2S_{a}(BC\overrightarrow{e_{1}}+CA\overrightarrow{e_{2}}+AB\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0})$ (Định lý con nhím)