Cho tam giác ABC trọng tâm G. D,E,F là hình chiếu của G trên BC,CA,AB.CMR $BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$
$BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$
#1
Đã gửi 11-09-2016 - 20:13
#2
Đã gửi 12-09-2016 - 17:31
help
#3
Đã gửi 12-09-2016 - 21:25
Cho tam giác ABC trọng tâm G. D,E,F là hình chiếu của G trên BC,CA,AB.CMR $BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$
Trước tiên ta áp dụng hệ thức Jacobi(tham khảo tại đây )
Ta có: $S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}+S_{c}.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow S_{a}.\overrightarrow{GA}+S_{b}.\overrightarrow{GB}-S_{c}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}(S_{a}-S_{c})+\overrightarrow{GB}(S_{b}-S_{c})=\overrightarrow{0}$
Dễ thấy $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$ không cùng phương nên $S_{b}-S_{c}=S_{a}-S_{c}=0$
Do đó $S_{a}=S_{b}=S_{c}$
Kẻ các vecto đơn vị e1,e2,e3 ra phía ngoài tam giác vuông góc với BC,CA,AB
$BC^{2}\overrightarrow{GD}+CA^{2}\overrightarrow{GE}+AB^{2}\overrightarrow{GF}$=$\sum BC^2.GD.\overrightarrow{e_{1}}=\sum 2S_{a}.BC.\overrightarrow{e_{1}}=2S_{a}(BC\overrightarrow{e_{1}}+CA\overrightarrow{e_{2}}+AB\overrightarrow{e_{3}}=\overrightarrow{0})$ (Định lý con nhím)
- Kim Vu và duyanh782014 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh