Chủ đề này có 9 trả lời

[nguen123]

 Nhờ các bạn giải giúp : 

Cho a,b,c>0 . CMR: $\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}+\frac{{{b}^{8}}}{{{c}^{7}}+7{{a}^{7}}}+\frac{{{c}^{8}}}{{{a}^{7}}+7{{b}^{7}}}\ge \frac{a+b+c}{8}$

[Zeref]

 Nhờ các bạn giải giúp : 

Cho a,b,c>0 . CMR: $\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}+\frac{{{b}^{8}}}{{{c}^{7}}+7{{a}^{7}}}\frac{{{c}^{8}}}{{{a}^{7}}+7{{b}^{7}}}\ge \frac{a+b+c}{8}$

Áp dụng BĐT B-C-S

Ta có

$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$

Do đó chỉ cần CM

$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$

$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)

Vậy BĐT đc CM

[Tran Nam hy2002]

Áp dụng BĐT B-C-S

Ta có

$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$

Do đó chỉ cần CM

$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$

$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)

Vậy BĐT đc CM

có vấn đề rồi bạn ơi

[Zeref]

có vấn đề rồi bạn ơi

Ưhm, bạn nói rõ đi

[Tran Nam hy2002]

cần cm (a^4+b^4+c^4)^2/8(a^7+b^7+c^7)>=a+b+c/8 mà  (a^4+b^4+c^4)^2=<(a^7+b^7+c^7)(a+b+c) thì bdt can cm nguoc dau roi 

[nguen123]

Áp dụng BĐT B-C-S

Ta có

$\sum \frac{a^8}{b^7+7c^7} \geq \frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)}$

Do đó chỉ cần CM

$\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) \geq (a^4+b^4+c^4)^2 $

$<=> (a+b+c)(a^7+b^7+c^7) - (a^4+b^4+c^4)^2 \geq 0$

$<=> \sum ab(a^3-b^3)^2 \geq 0$ (luôn đúng vì a,b,c dương)

Vậy BĐT đc CM

Bạn dùng Cauchy-schwarz đánh giá quá đà rồi cái này $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

không đúng

[nguen123]

Bạn dùng cauchy-schwarz nhưng $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

sai bạn ạ.

[Zeref]

 

Bạn dùng cauchy-schwarz nhưng $\frac{(a^4+b^4+c^4)^2}{8(a^7+b^7+c^7)} \geq \frac{a+b+c}{8}$

sai bạn ạ.

 

Ah chết, mình xin lỗi, có vẻ như Cauchy-Schwarz không được rồi

[nguen123]

mình đã tìm được lời giải sau các bạn xem thử:

Không mất tính tổng quát ta giả sử  $$a\ge b\ge c>0$$ ta chứng được 

$*\,\,\,\sum{{{a}^{15}}}\ge \sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}^{{}}}\ge \sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}^{{}}}$ cái này là BDT hoán vị

và

$*\,\,\,\sum{{{a}^{8}}}\ge \frac{1}{3}\sum{{{a}^{7}}^{{}}}.\sum{{{a}^{{}}}}$ cái này là Chebychev

Khi đó áp dụng Cauchy-schwarz ta có :

$\sum{\frac{{{a}^{8}}}{{{b}^{7}}+7{{c}^{7}}}\ge \frac{{{\left( \sum{{{a}^{8}}} \right)}^{2}}}{\sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+7\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}}}}\ge \frac{8\left( \sum{{{a}^{8}}} \right)\left( \sum{{{a}^{7}}} \right)}{3\left( \sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+7\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}} \right)}.\frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}$

$=\frac{8\left( \sum{{{a}^{15}}}+\sum{{{a}^{8}}}{{b}^{7}}+\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}} \right)}{3\sum{{{a}^{8}}{{b}^{7}}+21\sum{{{a}^{7}}{{b}^{8}}}}}.\frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}\ge \frac{\sum{{{a}^{{}}}}}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 13-09-2016 - 21:14

[nguen123]

mình sử dụng bất đẳng thức tổng quát  sau :

với $a\ge b\ge c>0$

\[\sum{{{a}^{n}}}\ge \sum{{{a}^{n-i}}{{b}^{i}}^{{}}}\ge \sum{{{a}^{n-j}}{{b}^{j}}^{{}}}\]  với $0\le i\le j$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguen123: 13-09-2016 - 21:31