Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 12-09-2016 - 19:00

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 linhphammai

linhphammai

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 241 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Toán_Vật lý_Hóa học_Sinh học

Đã gửi 12-09-2016 - 19:07

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $x+y=1$. Chứng minh rằng: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})\ge \frac{25}{4}$ (AoPS)

                                                                                                                                                      

Xét $xy \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Xét $A = (x + \frac{1}{x})(y + \frac{1}{y})$

= $xy + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{1}{xy}$

= $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{1}{16xy} + \frac{15}{16xy} + xy$

$\geq \frac{15}{4} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$

Dấu = <=> $x = y = \frac{1}{2}$


NEVER GIVE UP... :angry:  

Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...

 

 


#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 12-09-2016 - 19:09

Ta có: $(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})=xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}+\frac{1-2xy}{xy}$

Mặt khác: $xy\leq \frac{1}{4}$.

Xét đạo hàm là ra rồi. 


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh