Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn: $(2^{k})!=2^{n}*m$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 12-09-2016 - 19:25

Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn: $(2^{k})!=2^{n}*m$


  • k4x yêu thích

                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 k4x

k4x

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Trần Hưng Đạo , Bình Thuận
  • Sở thích:game

Đã gửi 04-10-2016 - 18:50

Bổ đề: $v_{2}((2^k)!)=2^k-1$ với $k$ là số tự nhiên bất kỳ.

Chứng minh:

 Gọi $A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k-2};A_{k-1};A_{k}$ là những tập chứa các số tự nhiên từ $1$ đến $2^k$ sao cho các phần tử thuộc $A_{i}$ phải chia hết cho $2^i$.Dễ thấy $\left |A_{i} \right |=2^{k-i}$

 Ta có nhận xét sau: $A_{k} \subset A_{k-1} \subset ... \subset A_{2} \subset A_{1}$ $(1)$

 Do đó, nếu gọi $A'_{1};A'_{2};A'_{3};...;A'_{k-2};A'_{k-1}$ là các tập cũng chứa các số tự nhiên từ $1$ đến $2^k$ nhưng các phần tử thuộc $A_{i}$ có số mũ của 2 khi phân tích ra thừa số nguyên tố là $i$.Từ $(1)$ ta sẽ có $A'_{i}$=$A_{i}$ \ $A_{i+1}$ ($k-1 \geq i \geq 1$) => $\left |A'_{i} \right |=\left | A_{i} \right |-\left |A_{i+1} \right |=2^{k-i}-2^{k-i-1}$.Còn riêng $A_{k}$ thì $A_{k}=A'_{k}={2^k}$

  Nhận xét thứ 2: $v_{2}((2^k)!)=\sum_{i=1}^{k-1}i.\left |A'_{i} \right |+k$

                                                 $=\sum_{i=1}^{k-1}i.(2^{k-i}-2^{k-i-1})+k$

                                                  $=2^k-1$ (cái này mình dùng Wolf thu gọn lại).

Quay lại bài toán: Đặt $u=\frac{(2^k)!}{2^{2^k-1}}$ thì $2^{n}.m=2^{2^k-1}.u$ $(3)$

                             $m$ luôn viết được dưới dạng $2^{v}.l$ với $gcd(2,l)=1$  

                             Lúc đó $(3)$ <=> $2^{n+v}.l= 2^{2^k-1}.u$ $(4)$ => $n+v=2^k-1$ => $u=l$ (vì nếu $n+v \neq 2^k-1$ thì                                      $v_{2}(VT(4)) \neq v_{2}(VP(4))$).

Vậy nghiệm của phương trình là $(n,m)=(n,2^{2^k-1-n}.\frac{(2^k)!}{2^{2^k-1}}).$$\blacksquare$

$P/S:$ ta có thể tổng quát bài toán này thành ''Cho $k$ là số tự nhiên và $p$ là số nguyên tố bất kỳ.Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(p^k)!=p^{n}.m$'' , lời giải cho bài tổng quát tương tự như lời giải của mình phía trên                    


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 09-10-2016 - 13:20


#3 k4x

k4x

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Trần Hưng Đạo , Bình Thuận
  • Sở thích:game

Đã gửi 05-10-2016 - 11:50

ta tổng quát được bài toán sau : cho $p$ là số nguyên tố và $k$ là số tự nhiên bất kỳ. khi đó 

                                                         $v_{p}((p^k)!)=\frac{p^{k}-1}{p-1}$ (chứng minh tương tự bổ đề phía trên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 05-10-2016 - 11:51





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh