Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn: $(2^{k})!=2^{n}*m$
Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn: $(2^{k})!=2^{n}*m$
#2
Đã gửi 04-10-2016 - 18:50
Bổ đề: $v_{2}((2^k)!)=2^k-1$ với $k$ là số tự nhiên bất kỳ.
Chứng minh:
Gọi $A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k-2};A_{k-1};A_{k}$ là những tập chứa các số tự nhiên từ $1$ đến $2^k$ sao cho các phần tử thuộc $A_{i}$ phải chia hết cho $2^i$.Dễ thấy $\left |A_{i} \right |=2^{k-i}$
Ta có nhận xét sau: $A_{k} \subset A_{k-1} \subset ... \subset A_{2} \subset A_{1}$ $(1)$
Do đó, nếu gọi $A'_{1};A'_{2};A'_{3};...;A'_{k-2};A'_{k-1}$ là các tập cũng chứa các số tự nhiên từ $1$ đến $2^k$ nhưng các phần tử thuộc $A_{i}$ có số mũ của 2 khi phân tích ra thừa số nguyên tố là $i$.Từ $(1)$ ta sẽ có $A'_{i}$=$A_{i}$ \ $A_{i+1}$ ($k-1 \geq i \geq 1$) => $\left |A'_{i} \right |=\left | A_{i} \right |-\left |A_{i+1} \right |=2^{k-i}-2^{k-i-1}$.Còn riêng $A_{k}$ thì $A_{k}=A'_{k}={2^k}$
Nhận xét thứ 2: $v_{2}((2^k)!)=\sum_{i=1}^{k-1}i.\left |A'_{i} \right |+k$
$=\sum_{i=1}^{k-1}i.(2^{k-i}-2^{k-i-1})+k$
$=2^k-1$ (cái này mình dùng Wolf thu gọn lại).
Quay lại bài toán: Đặt $u=\frac{(2^k)!}{2^{2^k-1}}$ thì $2^{n}.m=2^{2^k-1}.u$ $(3)$
$m$ luôn viết được dưới dạng $2^{v}.l$ với $gcd(2,l)=1$
Lúc đó $(3)$ <=> $2^{n+v}.l= 2^{2^k-1}.u$ $(4)$ => $n+v=2^k-1$ => $u=l$ (vì nếu $n+v \neq 2^k-1$ thì $v_{2}(VT(4)) \neq v_{2}(VP(4))$).
Vậy nghiệm của phương trình là $(n,m)=(n,2^{2^k-1-n}.\frac{(2^k)!}{2^{2^k-1}}).$$\blacksquare$
$P/S:$ ta có thể tổng quát bài toán này thành ''Cho $k$ là số tự nhiên và $p$ là số nguyên tố bất kỳ.Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(p^k)!=p^{n}.m$'' , lời giải cho bài tổng quát tương tự như lời giải của mình phía trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 09-10-2016 - 13:20
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh