Chủ đề này có 2 trả lời

[Frankesten]

Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho:

 

$n=\dfrac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}$

 

a/ Chứng minh có vô số số đẹp?

b/ Số 2014 có phải là số đẹp hay ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 13-09-2016 - 20:04

[halloffame]

a) Ta chọn $a=kc;b=kd (k \in \mathbb{N}^*),$ khi đó $n=k^4.$ Vậy các số $1^4;2^4;3^4;.....$ đều đẹp.

Ta có đpcm.

[halloffame]

b) Giả sử tồn tại các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $2014= \frac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}.$

Khi đó $2015a^4+b^4 \vdots 2014 \Rightarrow a^4+b^4 \vdots 2014 \Rightarrow a^4+b^4 \vdots 19.$

Do $19$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$ nên theo một kết quả quen thuộc thì $a,b \vdots 19 \Rightarrow 2015a^4+b^4 \vdots 19^4 \Rightarrow 2015c^4+d^4 \vdots 19.$

Tương tự, ta suy ra $c, d \vdots 19.$ Đặt $a=19a_1;b=19b_1;c=19c_1;d=19d_1.$ Khi đó $2014= \frac{2015a_{1}^{4}+b_{1}^{4}}{2015c_{1}^{4}+d_{1}^{4}}.$

Tương tự, ta suy ra các số $a_1,b_1,c_1,d_1 \vdots 19.$ Làm như vậy nhiều lần, ta suy ra $a,b,c,d$ chia hết cho 19 một số vô hạn lần, đây là điều vô lý.

Vậy $2014$ không là số đẹp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 14-09-2016 - 19:11