Chủ đề này có 1 trả lời

[Frankesten]

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn:

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\dfrac{8}{10}, x_{2}=\dfrac{9}{10} \\ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt[3]{x_{n}} \end{matrix}\right.$$

 

Tính $Lim (x_{n})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 13-09-2016 - 20:16

[Baoriven]

Xét hai dãy số: $\begin{matrix}y_{n+2}=\sqrt[3]{y_{n+1}}+\sqrt{y_{n+1}} \\ z_{n+2}=\sqrt[3]{z_{n}}+\sqrt{z_{n}} \end{matrix}$.

Trong đó: $z_1=y_1=x_1; z_2=y_2=x_2$.

Khi đó ta có: $z_n<x_n<y_n$.

Xét phương trình: $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$. Suy ra có 1 nghiệm dương $>1$.

$1<a<t_0,1<b<t_0\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt{b}<\sqrt[3]{t_0}+\sqrt{t_0}=t_0$.

Do đó hai dãy $y_n,z_n$ bị chặn trên bởi $t_0$.

Nên $x_n$ có giới hạn là $t_0$ với $t_0$ là nghiệm phương trình: $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$