Chủ đề này có 1 trả lời

[SKT T1 SPAK]

Cho $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$ với x,y>0. Tìm min của :

                               $P=x+y$

 

[hanguyen445]

Từ $\sqrt{xy}(x-y)=x+y\Rightarrow x>y$ và $xy(x-y)^2=(x+y)^2\Leftrightarrow xy[(x+y)^2-4xy]=(x+y)^2$

$\Leftrightarrow (xy-1)(x+y)^2=4(xy)^2\Leftrightarrow (x+y)^2=\dfrac{4(xy)^2}{xy-1}\ge 16$ với $xy>1$

$\Leftrightarrow 4(xy)^2-16xy+16\ge 0\Leftrightarrow (2xy-4)^2\ge 0$ luôn đúng $\forall x>y,xy>1$

Suy ra: $x+y\ge 4\Rightarrow Min(x+y)=4$ khi $x=2-\sqrt{2};y=2+\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 14-09-2016 - 20:41