Đề bài: Tìm $n\in N$ để $A=3^{2n}+3^n+1\vdots 13$.
Lời giải.
- Nếu $n=3k$ ($k\in N$). Ta có:
$A=3^{6k}+3^{3k}+1$.
Mặt khác: $3^{6}\equiv 1$ (mod $13$) $\Rightarrow 3^{6k}\equiv 1$ (mod $13$).
$3^{3}\equiv 1$ (mod $13$) $\Rightarrow 3^{3k}\equiv 1$ (mod $13$).
Do đó $A\equiv 3$ (mod $13$) $\Rightarrow$ với $n=3k$ thì $A$ không chia hết cho $13$.
- Nếu $n=3k+1$. Ta có:
$A=3^{6k+2}+3^{3k+1}+1=9.3^{6k}+3.3^{3k}+1\equiv 0$ (mod $13$).
$\Rightarrow$ với $n=3k+1$ thì $A$ chia hết cho $13$.
- Nếu $n=3k+2$. Ta có:
$A=3^{6k+4}+3^{3k+2}+1=81.3^{6k}+9.3^{3k}+1\equiv 0$ (mod $13$).
$\Rightarrow$ với $n=3k+2$ thì $A$ chia hết cho $13$.
Vậy với $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$ thì $A$ chia hết cho $13$.
Mọi người cho em hỏi là vì sao lại xét 3 trường hợp cụ thể như trên mà lại không xét các trường hợp như $n=2k$, $n=2k+1$, $n=4k$, $n=4k+1$, $n=4k+3$, $n=4k+4$,... ạ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Thanh Truong: 16-09-2016 - 16:28
