Cho $\Delta ABC$. $D,E,F$ là trung điểm của $BC,CA,AB$. $P$ bất kì.
a, CMR các đường thẳng đi qua $A,B,C$ lần lượt $//$ với $PD,PE,PF$ đồng quy tại $Q$.
b, CMR các đường thẳng đi qua $D,E,F$ lần lượt $//$ với $PA,PB,PC$ đồng quy tại $R$.
c, CMR $P,Q,R$ thẳng hàng.
a)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Xét phép biến hình V là phép vị tự tâm G tỉ lệ -2
qua phép biến hình V thì:
D$\rightarrow$A, PD$\rightarrow$ đường thẳng $d_a$ qua A //PD
E$\rightarrow$B, PE$\rightarrow$ đường thẳng $d_b$ qua B //PE
F$\rightarrow$C, PF$\rightarrow$ đường thẳng $d_c$ qua C //PF
mà PD, PE, PF đồng qui tại P
$\Rightarrow d_a, d_b, d_c$ đồng qui tại điểm Q là ảnh của P qua phép biến hình V
b)
Xét phép vị tự tâm G tỉ lệ $-\frac12$:
A$\rightarrow$D, PA $\rightarrow$ đường thẳng $d_d$ qua D //PA
B$\rightarrow$E, PB $\rightarrow$ đường thẳng $d_e$ qua E //PB
C$\rightarrow$F, PC $\rightarrow$ đường thẳng $d_f$ qua F //PC
mà PA, PB, PC đồng qui tại P
$\Rightarrow d_d, d_e, d_f$ đồng qui tại R là ảnh của P qua phép vị tự trên
c)
theo a) có P, Q, G thẳng hàng
theo b) có P, R, G thẳng hàng
$\Rightarrow$ P, Q, R thẳng hàng