Chủ đề này có 2 trả lời

[thang1308]

Định dạng tam giác ABC nếu biết:

$(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)=cosA.cosB.cosC$

[L Lawliet]

Định dạng tam giác ABC nếu biết:

$(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)=cosA.cosB.cosC$

Lời giải.

Với mọi tam giác $ABC$ ta có:

$$\left ( 1-\cos A \right )\left ( 1-\cos B \right )\left ( 1-\cos C \right )\geq \cos A\cos B\cos C$$

Thật vậy:

$$\left ( 1-\cos A \right )\left ( 1-\cos B \right )\left ( 1-\cos C \right )\geq \cos A\cos B\cos C$$

$$\Leftrightarrow 8\sin ^{2}\dfrac{A}{2}\sin ^{2}\dfrac{B}{2}\sin ^{2}\dfrac{C}{2}\geq \cos A\cos B\cos C$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{8\sin ^{2}\frac{A}{2}\sin ^{2}\frac{B}{2}\sin ^{2}\frac{C}{2}}{\sin A\sin B\sin C}\geq \cot A\cot B\cot C$$

$$\Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2}\geq \cot A\cot B\cot C$$

$$\Leftrightarrow \tan A\tan B\tan C\geq \cot \dfrac{A}{2}\cot \dfrac{B}{2}\cot \dfrac{C}{2}$$

$$\Leftrightarrow \tan A+\tan B+\tan C\geq \cot \dfrac{A}{2}+\cot \dfrac{B}{2}\cot \dfrac{C}{2}$$

Mặt khác ta có:

$$\tan A+\tan B=\dfrac{\sin \left ( A+B \right )}{\cos A\cos B}=\dfrac{2\sin \left ( A+B \right )}{\cos \left ( A+B \right )\cos \left ( A-B \right )}\geq \dfrac{2\sin C}{1-\cos C}=\dfrac{2.2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}{2\sin ^{2}\frac{C}{2}}=2\cot \frac{C}{2}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$ hay tam giác $ABC$ đều.

[Nguyenhuyen_AG]

Định dạng tam giác ABC nếu biết:

$(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)=cosA.cosB.cosC$

 

Ta có

\[(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C) - \cos A \cos B \cos C = \frac{4R^2+4Rr+3r^2-p^2}{4R^2} \geqslant 0.\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều.

 

Bất đẳng thức

\[4R^2+4Rr+3r^2 \geqslant p^2,\]

có thể xem ở đây: https://nguyenhuyen-...a-blundons.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 17-09-2016 - 23:01