Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ tam giác $ABC$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 My Angel

My Angel

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 06-06-2006 - 17:15

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $T$. Môt đường thẳng tiếp xúc với $(I)$ tại $X$ cắt $(O)$ tại các điểm $A$ và $B$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ với $XT$. Trên cung $TS$ không chứa $A$ và $B$ chọn môt điểm $C$. Gọi $CY$ là tiếp tuyến từ $C$ đến $(I)$ với $Y$ thuộc $(I)$ sao cho đoạn $CY$ không cắt đoạn $ST$. Gọi $E$ là giao điểm của $XY$ và $SC$. Chứng minh $E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ tam giác $ABC$



#2 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 26-08-2013 - 22:09

Ai up hình lên với ạ

Mình vẽ hình nhưng lại có vẻ thấy đề không đúng


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 26-08-2013 - 22:29

Ai up hình lên với ạ

Mình vẽ hình nhưng lại có vẻ thấy đề không đúng

 

 

Hình gửi kèm

  • Snap104.png


#4 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 28-08-2013 - 13:54

 

Giải như sau

Ta có $\bigtriangleup OST$ cân tại $O$ và $\triangle ITX$ cân tại $I$ và $\angle STO=\angle ITX$

$\Rightarrow \angle IXT=\angle ISO\Rightarrow OS//IX$

Do đó $S$ là điểm chính giữa của $\overbrace{AB}$ chứa $C$

$\Rightarrow CE$ là phân giác ngoài của  $\angle ACB$

Hoàn toàn tương tự $BE$ cũng là phân giác ngoài của $\angle ABC$

Hay $E$ là tam bàng tiếp trong góc $A$ của $\triangle ABC$

QED.


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#5 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 28-08-2013 - 21:29

Giải như sau

Ta có $\bigtriangleup OST$ cân tại $O$ và $\triangle ITX$ cân tại $I$ và $\angle STO=\angle ITX$

$\Rightarrow \angle IXT=\angle ISO\Rightarrow OS//IX$

Do đó $S$ là điểm chính giữa của $\overbrace{AB}$ chứa $C$

$\Rightarrow CE$ là phân giác ngoài của  $\angle ACB$

Hoàn toàn tương tự $BE$ cũng là phân giác ngoài của $\angle ABC$

Hay $E$ là tam bàng tiếp trong góc $A$ của $\triangle ABC$

QED.

mình không hiểu nó tương tự như thế nào

bạn có thể giải thích không



#6 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 28-08-2013 - 22:06

mình không hiểu nó tương tự như thế nào

bạn có thể giải thích không

MÌnh vừa nhận ra là đề có thể sai

Lí do như sau

Gọi $F$ là giao của $BE$ với $(O)$

Khi đó $\triangle OTF$ cân tại $O$ và $\triangle YIT$ cân tại $I$ có $2$ góc đối đỉnh 

Do đó ta vẫn suy ra được $OF//IY$

Muốn $BE$ là phân giác ngoài của $\angle CBA$ thì ta phải có $F$ là điểm chính giữa của cung $CA$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $A,C,Y$ thẳng hàng

:closedeyes: 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#7 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 28-08-2013 - 23:09

MÌnh vừa nhận ra là đề có thể sai

Lí do như sau

Gọi $F$ là giao của $BE$ với $(O)$

Khi đó $\triangle OTF$ cân tại $O$ và $\triangle YIT$ cân tại $I$ có $2$ góc đối đỉnh 

Do đó ta vẫn suy ra được $OF//IY$

Muốn $BE$ là phân giác ngoài của $\angle CBA$ thì ta phải có $F$ là điểm chính giữa của cung $CA$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $A,C,Y$ thẳng hàng

:closedeyes: 

 

thử dùng Geometry's Sketchpad đo thì đề vẫn chuẩn mà bạn

VD:

 

Hình gửi kèm

  • Snap105.png
  • Snap106.png
  • Snap107.png


#8 malx

malx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 30-08-2013 - 16:54

Việc chứng minh $CE$ là phân giác ngoài của $\angle BCA$ là đơn giản, làm như #barcavodich# là được. Để kết thúc bài toán chỉ cần chứng minh tiếp $AE$ là phân giác ngoài của $\angle BAC$, tức là phân giác $\angle CAX$ là đủ.

$YT$ cắt $(O_{1})$ tại điểm thứ hai $H, HA$ cắt $XY$ tại $K$. Dễ thấy $HS\parallel XY$ (so sánh góc qua tiếp tuyến trung của hai đường tròn tại $T$). Do $\angle TCE= \angle SHT = \angle TYE$ nên tứ giác $TEYC$ nội tiếp. Do $\angle TAK = \angle HST = \angle TXK$ nên tứ giác $AXKT$ nội tiếp. Do $\angle ACE = \angle SHA = \angle AKE$ nên tứ giác $AEKC$ nội tiếp.

Gọi $L$ là giao điểm của hai đường tròn $(AXKT)$ và $(TEYC)$. Vì $\angle ELT = \angle TYE = \angle AXT$ nên ba điểm $A, E, L$ thẳng hàng. Vì $\angle TLK = \angle TXK = \angle TYC$ nên ba điểm $L, K, C$ thẳng hàng (phải viết chi tiết vì sợ phép tương tự rồi J). Đến đây dễ thấy $\angle EAX = \angle EKL = \angle CKY = \angle CAE$ nên ta có đpcm: $AE$ là phân giác $\angle CAX$

 

Nhận xét: $CK$ là phân giác $\angle ACY$ nên có phỏng đoán là bài này có thể giải được bằng hình học cao cấp (spiral similarity, spiral symmetry ? ...). Rất tiếc là do lười chưa học mấy thứ này.

Hình gửi kèm

  • Construction.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi malx: 30-08-2013 - 18:40


#9 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 30-08-2013 - 21:15

Việc chứng minh $CE$ là phân giác ngoài của $\angle BCA$ là đơn giản, làm như #barcavodich# là được. Để kết thúc bài toán chỉ cần chứng minh tiếp $AE$ là phân giác ngoài của $\angle BAC$, tức là phân giác $\angle CAX$ là đủ.

$YT$ cắt $(O_{1})$ tại điểm thứ hai $H, HA$ cắt $XY$ tại $K$. Dễ thấy $HS\parallel XY$ (so sánh góc qua tiếp tuyến trung của hai đường tròn tại $T$). Do $\angle TCE= \angle SHT = \angle TYE$ nên tứ giác $TEYC$ nội tiếp. Do $\angle TAK = \angle HST = \angle TXK$ nên tứ giác $AXKT$ nội tiếp. Do $\angle ACE = \angle SHA = \angle AKE$ nên tứ giác $AEKC$ nội tiếp.

Gọi $L$ là giao điểm của hai đường tròn $(AXKT)$ và $(TEYC)$. Vì $\angle ELT = \angle TYE = \angle AXT$ nên ba điểm $A, E, L$ thẳng hàng. Vì $\angle TLK = \angle TXK = \angle TYC$ nên ba điểm $L, K, C$ thẳng hàng (phải viết chi tiết vì sợ phép tương tự rồi J). Đến đây dễ thấy $\angle EAX = \angle EKL = \angle CKY = \angle CAE$ nên ta có đpcm: $AE$ là phân giác $\angle CAX$

 

Nhận xét: $CK$ là phân giác $\angle ACY$ nên có phỏng đoán là bài này có thể giải được bằng hình học cao cấp (spiral similarity, spiral symmetry ? ...). Rất tiếc là do lười chưa học mấy thứ này.

post-118331-0-10179900-1377855942.png

Một lời giải đẹp!

 

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 30-08-2013 - 23:56


#10 cuongt1k23

cuongt1k23

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T1K23 , THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Math and Football

Đã gửi 30-08-2013 - 23:22

việc chứng minh CE là phân giác góc ngoài $\angle ACB$ thật dễ dàng , ta chỉ cần chứng minh BE là phân giác , ta cần chỉ ra SA = SB =SE (= $\sqrt{ST.SX}$ ) sau đó ta có:

$\angle EBX=\angle BAE+\angle BEA=180^{\circ}-\angle ABE=\frac{360^{\circ}-2.\angle ABE}{2}=\frac{360^{\circ}-\angle ABE-\angle SAB-\angle SPB}{2}=\frac{\angle ASC}{2}=\frac{\angle CBX}{2}$

suy ra BE là phân giác $\angle CBX$ (dpcm)

 

 

 

 

 

 

 

 

 



#11 tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 144 Bài viết

Đã gửi 03-01-2015 - 10:34

việc chứng minh CE là phân giác góc ngoài $\angle ACB$ thật dễ dàng , ta chỉ cần chứng minh BE là phân giác , ta cần chỉ ra SA = SB =SE (= $\sqrt{ST.SX}$ ) sau đó ta có:

$\angle EBX=\angle BAE+\angle BEA=180^{\circ}-\angle ABE=\frac{360^{\circ}-2.\angle ABE}{2}=\frac{360^{\circ}-\angle ABE-\angle SAB-\angle SPB}{2}=\frac{\angle ASC}{2}=\frac{\angle CBX}{2}$

suy ra BE là phân giác $\angle CBX$ (dpcm)

cái chỗ đấy mình ko hiểu, bạn giải thích hộ mình với!!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh