Chủ đề này có 3 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c> 0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}$

[hoaichung01]

ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{9-ab}\leq \frac{3}{8}$$\Leftrightarrow 8(243-18p+3r)\leq 3(729-81q+27r-r^{2})$$\Leftrightarrow 243-99q+57r-3r^{2}\geq 0$

với $p=a+b+c ; q=ab+bc+ca ; r=abc$

$3=3(\frac{a+b+c}{3})^{6}\geq 3(abc)^{2}\Rightarrow 1\geq r^{2}$

theo BĐT schur $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{3}\Rightarrow 57r\geq 19(4q-9)$

nên ta cần cm $72-23q-3r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 3(1-r^{2})+23(3-q)\geq 0$  luôn đúng 

ta có bài tổng quát $a,b,c \geq 0, a+b+c=3 , k\geq 6$

$\sum \frac{1}{k-ab}\leq \frac{3}{k-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaichung01: 18-09-2016 - 16:51

[Minh Hieu Hoang]

mọi người xem cách giải của em sai ở đâu ạ

 Ta sẽ tìm min $-P$

 

ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{9-ab}\leq \frac{3}{8}$$\Leftrightarrow 8(243-18p+3r)\leq 3(729-81q+27r-r^{2})$$\Leftrightarrow 243-99q+57r-3r^{2}\geq 0$

với $p=a+b+c ; q=ab+bc+ca ; r=abc$

$3=3(\frac{a+b+c}{3})^{6}\geq 3(abc)^{2}\Rightarrow 1\geq r^{2}$

theo BĐT schur $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{3}\Rightarrow 57r\geq 19(4q-9)$

nên ta cần cm $72-23q-3r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 3(1-r^{2})+23(3-q)\geq 0$  luôn đúng 

ta có bài tổng quát $a,b,c \geq 0, a+b+c=3 , k\geq 6$

$\sum \frac{1}{k-ab}\leq \frac{3}{k-1}$

bạn có tài liệu về schur dễ hiểu ko . mình đọc nhiều tài liệu về schur mà ko áp dụng vào bài giải được

[Baoriven]

Ta có: $ab\leq (\frac{a+b}{2})^2=\frac{(3-c)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{9-ab}\leq \frac{4}{-c^2+6c+27}$.

Ta chứng minh $f(a)+f(b)+f(c)\leq \frac{3}{8}$. với $f(x)=\frac{4}{-x^2+6x+27},\forall x\in (0;3)$.

Ta có: $\frac{4}{-x^2+6x+27}-\frac{9-x}{4}=\frac{(x-1)^2(x-13)}{64(-x^2+6x+27)}\leq 0,\forall x\in (0;3)$.

Từ đó ta có đpcm.