Chủ đề này có 1 trả lời

[Min Nq]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{y}y^{x}=(x+y)^{z}$

[redfox]

$x=1$ hay $y=1$ đều không thoả.

Với $p$ nguyên tố gọi $v_p(x)$ là số mũ của $p$ trong phân tích nhân tử của $x$.

Ta có $xv_p(y)+yv_p(x)=zv_p(x+y), \forall p\in \mathbb{P}$.

Ta có $max(x,y)^{x+y}\geq x^yy^x=(x+y)^z>max(x,y)^z\Rightarrow x+y>z\Rightarrow xv_p(y)+yv_p(x)<(x+y)v_p(x+y), \forall p\in \mathbb{P}$.

Giả sử $\exists p, v_p(x)>v_p(y)\Rightarrow v_p(x+y)=v_p(y)\Rightarrow xv_p(y)+yv_p(x)<(x+y)v_p(y)\Rightarrow v_p(x)<v_p(y)$ mâu thuẫn.

Tương tự ta suy ra được $\forall p\in \mathbb{P}, v_p(x)=v_p(y)\Rightarrow x=y$.

Thay vào đề bài $x^{2x}=2^zx^z$ nên $x$ là luỹ thừa của $2$.

Đặt $x=2^k\Rightarrow k2^{k+1}=(k+1)z$.

Vì $gcd(k,k+1)=1\Rightarrow k+1\mid 2^{k+1}$ nên $k+1$ là luỹ thừa của $2$.

Đặt $k=2^n-1\Rightarrow (x;y;z)=(2^{2^n-1};2^{2^n-1};(2^n-1)2^{2^n-n}), \forall n\in \mathbb{Z}^+$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 19-09-2016 - 22:13