Chủ đề này có 1 trả lời

[ThachAnh]

Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0 \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Giải hệ pt:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}-2=3x-3y^{2} & \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+2=0 \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-1\leq x\leq 1$, $0\leq y\leq 2$.

Ta có:

$$x^{3}-y^{3}=3x-3y^{2}$$

$$\Leftrightarrow x^{3}-3x=\left ( y-1 \right )^{3}-3\left ( y-1 \right )$$

Vì $0\leq y\leq 2$ nên $-1\leq y-1\leq 1$.

Do đó xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}-3t$ với $-1\leq t\leq 1$.

Ta có $f'\left ( t \right )=3t^{2}-3\leq 0, \ \forall -1\leq t\leq 1$ do đó $f\left ( t \right )$ nghịch biến trên $\left [ -1;1 \right ]$.

Phương trình trên trở thành:

$$f\left ( x \right )=f\left ( y-1 \right )$$

$$\Leftrightarrow x=y-1$$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$$x^{2}-4\sqrt{1-x^{2}}+2=0$$

Đặt $\sqrt{1-x^{2}}=a\geq 0$ phương trình trở thành:

$$a^{2}+4a-3=0$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq 0 \\ a=-2\pm \sqrt{7} \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow a=-2+\sqrt{7}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}=-2+\sqrt{7}$$

$$\Leftrightarrow 1-x^{2}=11-4\sqrt{7}$$

$$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{4\sqrt{7}-10}$$

$$\Rightarrow y=1\mp \sqrt{4\sqrt{7}-10}$$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( \sqrt{4\sqrt{7}-10};1-\sqrt{4\sqrt{7}-10} \right ),\left ( -\sqrt{4\sqrt{7}-10};1+\sqrt{4\sqrt{7}-10} \right )$.