Chủ đề này có 3 trả lời

[misakichan]

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z $\leq \frac{3}{2}$

Tìm min $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 19-09-2016 - 18:00

[tritanngo99]

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z $\leq \frac{3}{2}$

Tìm min $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Ta có: $P=x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\iff P=\sum (x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x})+\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{x})$.

Áp dụng Cauchy và bất đẳng thức quen thuộc: $\sum \frac{1}{x}\ge \frac{9}{x+y+z}$.

Ta có: $P\ge \sum 3\sqrt[3]{x^2*\frac{1}{8x}*\frac{1}{8x}}+\frac{3}{4}*\frac{9}{x+y+z}\ge 3*\frac{3}{4}+\frac{3}{4}*\frac{9*2}{3}=\frac{27}{4}$.

Vậy $MinP=\frac{27}{4}$.Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{2}$

[loolo]

$\sum x^{2}+\sum \frac{1}{x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}+\frac{9}{x+y+z}= \frac{(x+y+z)^{2}}{3}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{9}{8(x+y+z)}+\frac{27}{4(x+y+z)}\geq \frac{9}{4}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}$

Dấu " = " tại x=y=z=1/2

[Baoriven]

Ta cần chứng minh: $f(x)+f(y)+f(z)\geq \frac{27}{4},f(t)=t^2+\frac{1}{t}$.

Ta có đánh giá sau: $t^2+\frac{1}{t}\geq -3t+\frac{15}{4}\Leftrightarrow (t+4)(t-\frac{1}{2})^2\geq 0$.

Từ đó ta có đpcm.