Chủ đề này có 4 trả lời

[leminhnghiatt]

Giải phương trình: 

 

$$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$$

[L Lawliet]

Giải phương trình: 

 

$$(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -3$.

Nhận thấy $x=\dfrac{1}{4}$ không phải nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho $4x-1$ ta được:

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\dfrac{4x+8}{4x-1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+3}-2 \right )+\left ( \sqrt[3]{3x+5}-2 \right )=\dfrac{4x+8}{4x-1}-4$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3\left ( x-1 \right )}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12\left ( x-1 \right )}{4x-1}$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x-1=0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12}{4x-1} \end{array}\right.$$

Ta thấy $x=1$ thỏa mãn phương trình do đó ta xử lý phương trình:

$$\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}=\dfrac{-12}{4x-1}$$

Đặt $f\left ( x \right )=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left ( 3x+5 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{3x+5}+4}$ thì $f\left ( x \right )$ là hàm nghịch biến trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.

Đặt $g\left ( x \right )=\dfrac{-12}{4x-1}$ thì $g\left ( x \right )$ đồng biến trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.

Do đó phương trình $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ có tối đa một nghiệm trên $\left [ -3;+\infty \right ]$.

Ta thấy $f\left ( -2 \right )=g\left ( -2 \right )$ nên $x=-2$ là nghiệm duy nhất của phương trình này.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1$ và $x=-2$.

----

Một cách khác nhưng mình chưa hoàn thiện đoạn chứng minh phương trình có hai nghiệm trên đoạn $\left [ -3;+\infty \right ]$:

Lập luận đến đoạn ta được phương trình:

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\dfrac{4x+8}{4x-1}$$

Xét hàm $f\left ( x \right )=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}$ thì hàm này đồng biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.

Xét hàm $g\left ( x \right )=\dfrac{4x+8}{4x-1}$ thì hàm này nghịch biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.

 

[leminhnghiatt]

Một cách khác nhưng mình chưa hoàn thiện đoạn chứng minh phương trình có hai nghiệm trên đoạn $\left [ -3;+\infty \right ]$:

Lập luận đến đoạn ta được phương trình:

$$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\dfrac{4x+8}{4x-1}$$

Xét hàm $f\left ( x \right )=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}$ thì hàm này đồng biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.

Xét hàm $g\left ( x \right )=\dfrac{4x+8}{4x-1}$ thì hàm này nghịch biến trên các khoảng $\left ( -3;\dfrac{1}{4} \right )$ và $\left ( \dfrac{1}{4};+\infty \right )$.

 

 

Đây là dạng 2 : $f(x)=g(x)$ với $f(x)$ đồng biến, và $g(x)$ nghịch biến trên khoảng đang xét, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

 

E làm nhiều bài tương tự hầu như nó đều cho nghiệm duy nhất, đến bài này nó lại có 2 nghiệm nên hơi hoang mang

 

Vậy có hai nghiệm đó là do đâu ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 19-09-2016 - 22:51

[L Lawliet]

Đây là dạng 2 : $f(x)=g(x)$ với $f(x)$ đồng biến, và $g(x)$ nghịch biến trên khoảng đang xét, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

 

E làm nhiều bài tương tự hầu như nó đều cho nghiệm duy nhất, đến bài này nó lại có 2 nghiệm nên hơi hoang mang

 

Vậy có hai nghiệm đó là do đâu ???

Do vậy nên mình mới không trình bày ở trên :v vì chưa tìm được cách lập luận phương trình chỉ có hai nghiệm và hai nghiệm nằm ở đó :v

[leminhnghiatt]

Do vậy nên mình mới không trình bày ở trên :v vì chưa tìm được cách lập luận phương trình chỉ có hai nghiệm và hai nghiệm nằm ở đó :v

 

$$4(x-1)[\log_3(x+1)+\log_4(x+2)]=5x-2$$

 

Bài này liệu cj có thể giải như cách 2 của bài trên đc k? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-09-2016 - 19:39