Chủ đề này có 1 trả lời

[Frankesten]

Cho a, b, c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh:

$\sum \dfrac{a}{b^2+c^2+2} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

[Namvip]

Đề bài hình như ngược dấu 

Ta có 

$b^{2}+c^{2}+2 = b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-a^{2}$

Tương tự ta cũng có $c^{2}+a^{2}+2=(a+b+c)^{2}-b^{2}$  $a^{2}+b^{2}+2=(a+b+c)^{2}-c^{2}$

Đặt $a+b+c=t$

$=>\sum \frac{a}{t^{2}-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Nhân cả hai vế với t^2 ta có 

$\sum \frac{at^{2}}{t^{2}-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}t^{2}$

mà $\frac{at^{2}}{t^{2}-a^{2}}=\frac{a^{3}}{t^{2}-a^{2}}+a$

$=>\sum \frac{at^{2}}{t^{2}-a^{2}}=\sum \frac{a^{3}}{t^{2}-a^{2}}+t$

Lại có

$\sum \frac{a^{3}}{t^{2}-a^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{a(t^{2}-a^{2})}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{t^{2}(a+b+c)-(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=$

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}(a+b+c)}{t^{3}(a+b+c)-(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\geq \frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{3}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}=\frac{t(t^{2}-2)^{2}}{t^{4}-(t^{2}-2)^{2}}$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau 

$\frac{t(t^{2}-2)^{2}}{t^{4}-(t^{2}-2)^{2}}+t\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}t^{2}$

<=>$\frac{t^{4}}{4t^{2}-4}+1\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}t <=> 2t^{3}-3\sqrt{3}t^{2}+3\sqrt{3}\geq 0 <=>t^{3}+t^{3}+3\sqrt{3}\geq 3\sqrt{3}t^{2}(AM-GM)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namvip: 20-09-2016 - 19:30