Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyenhungmanh]

Ai giải bài này giùm và cho mình xin phương pháp khi giải dạng này 

[vpvn]

từ giả thiết ta có

(x-1)³-12(x-1)=(y+1)³-12(y+1)

suy ra x=y+2

thay vào phương trình sau được phương trình bậc hai từ đó suy ra nghiệm

[Nguyenhungmanh]

từ giả thiết ta có

(x-1)³-12(x-1)=(y+1)³-12(y+1)

suy ra x=y+2

thay vào phương trình sau được phương trình bậc hai từ đó suy ra nghiệm

mình giải ra rồi. nhưng chỉ mò ra thôi. mình cần phương pháp để xác định định đúng hướng làm

[L Lawliet]

Ai giải bài này giùm và cho mình xin phương pháp khi giải dạng này 

Lời giải.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )$$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

$$\left ( x-\dfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\dfrac{1}{2} \right )^{2}=1$$

Để hệ có nghiệm thì cần ít nhất điều kiện sau:

$$\left\{\begin{matrix} -1\leq x-\dfrac{1}{2}\leq 1 \\ -1\leq y+\dfrac{1}{2}\leq 1 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -\dfrac{3}{2}\leq x-1\leq \dfrac{3}{2} \\ -\dfrac{3}{2}\leq y+1\leq \dfrac{3}{2} \end{matrix}\right.$$

Như vậy xét hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}-12t$ thì chỉ $t\in \left [ -\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right ]$.

Ta có hàm số này nghịch biến trong khoảng $t\in \left [ -\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right ]$ do đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$f\left ( x-1 \right )=f\left ( y+1 \right )$$

$$\Leftrightarrow x-1=y+1$$

$$\Leftrightarrow y=x-2$$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$$4x^{2}-8x+3=0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{3}{2} \end{array}\right.$$

Với $x=\dfrac{1}{2}$ ta được $y=-\dfrac{3}{2}$, với $x=\dfrac{3}{2}$ ta được $y=-\dfrac{1}{2}$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2} \right ),\left ( \dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2} \right )$.

----

Lời giải. (25 minutes)

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$\left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )-3\left ( x^{2}+y^{2} \right )-9\left ( x-y \right )=-22$$

$$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}-9 \right )=3\left ( x^{2}+y^{2} \right )-22$$

Từ phương trình thứ hai của hệ ta được $x^{2}+y^{2}=x-y+\dfrac{1}{2}$ thay vào phương trình trên ta được:

$$\left ( x-y \right )\left ( xy+x-y+\dfrac{1}{2}-9 \right )=3\left ( x-y+\dfrac{1}{2} \right )-22$$

$$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left [ 2\left ( x-y \right )+2xy \right ]=21\left ( x-y \right )-41\qquad \left ( 1 \right )$$

Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có:

$$2xy=\dfrac{1}{2}+\left ( x-y \right )-\left ( x-y \right )^{2}$$

Do đó phương trình $\left ( 1 \right )$ trở thành:

$$\left ( x-y \right )\left [ \dfrac{1}{2}+3\left ( x-y \right )-\left ( x-y \right )^{2} \right ]=21\left ( x-y \right )-41$$

----

Mình phân tích cách giải đầu tiên cho bạn.

Đầu tiên nhìn vào hệ ta thấy phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ bậc cao nhất của $x$ và $y$ đều bằng nhau và các biến $x$, $y$ độc lập với nhau. Việc các biến độc lập với nhau nó làm bài toán đỡ phức tạp hơn việc chứa các biến $xy$, $x^{2}y$,... ví dụ như bí quá thì... rút thế (ý kiến cá nhân).

Quay lại bài toán, tại sao lại lựa chọn phương trình thứ nhất của hệ để biến đổi? Quan sát ở phương trình thứ nhất của hệ ta thấy có chứa $y^{3}+3y^{2}$, điều này có nghĩa gì? Một cách tự nhiên nó làm ta nghĩ đến một hằng đẳng thức quen thuộc (thường làm toán nói chung và giải hệ nói riêng thấy những nhân tử như thế mình luôn nghĩ đến việc tạo thành một hằng đẳng thức). Tiếp tục nhìn bên vế trái ta cũng thấy $x^{3}-3x^{2}$ (đôi lúc sẽ là $x^{3}\pm ax^{2}$ nhưng điều này không quan trọng cho lắm, quan trọng là vế trái cũng có bậc $3$ do đó ta nghĩ đến việc đưa hai vế về một hàm bậc $3$ nào đó tương tự nhau. Do đó ta sẽ tiến hành việc phân tích vế phải thành hằng đẳng thức như ý tưởng ban đầu xem sao.

Ta có $y^{3}+3y^{2}-9y=\left ( y+1 \right )^{3}-12y-1$. Mục đích ban đầu của ta là đưa về một hàm nào đó tương tự nhau nhưng $\left ( y+1 \right )^{3}$ và $-12y$ nó không liên quan gì đến nhau cho lắm nên ta sẽ tiếp tục phân tích vế trái thành $\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )+11$.

Đến đây ta đã thấy xuất hiện lên hình dáng hàm cần tìm $t^{3}-12t+1$. Do đó ta biến đổi vế trái như sau, ta cần tìm $a$ sao cho:

$$\left ( x+a \right )^{3}-12\left ( x+a \right )+11=x^{3}-3x^{2}-9x+22$$

$a$ là nghiệm của phương trình $a^{3}-12a+11=22$, ta tìm được $3$ nghiệm $a$ nhưng ta chọn $a=-1$ cho tiện việc tính toán.

Do đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

$$\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )+11=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )+11$$

$$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )$$

Thông thường đến đây là xem như đã giải quyết xong phần khó nhất của bài toán nhưng nếu xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}-12t$ thì ta chưa thể kết luận việc đồng biến, nghịch biến của nó.

Theo kinh nghiệm bản thân khi đó ta sẽ xử lí phương trình còn lại để tìm điều kiện chặn các biến từ đó kết luận đạo hàm âm hay dương.

Có $x^{2}$ và $x$ độc lập ta nghĩ đến việc tách hằng đẳng thức rồi từ đó dẫn đến lời giải như bên trên.

Đến đây xin dừng. Tham khảo bài tương tự ở đây và trong các bài viết cũ của mình.

Văn chương không được tốt nên diễn đạt không hết được ý nhưng hi vọng nó giúp ích cho bạn và để hiểu rõ hơn cũng như quen với các dạng này bạn tham khảo thêm các bài toán khác trong box phương trình hệ phương trình.

Chúc bạn học tốt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 20-09-2016 - 20:28