Cho $ x, y, z \in [1;3] $ .
Tìm MAX của biểu thức:
$$P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 20-09-2016 - 20:33
$Max P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}$
Bắt đầu bởi Frankesten, 20-09-2016 - 20:31
#2
Đã gửi 20-09-2016 - 21:11
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Cho $ x, y, z \in [1;3] $ .
Tìm MAX của biểu thức:
$$P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}$$
Do vai trò của $x,y,z$ như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử $1\leq x\leq y\leq z\leq 3.$
Dễ dàng suy ra: $\frac{x}{z}\leq 3;\frac{z}{x}\leq 3.$ Do đó: $(3-\frac{x}{z})(3-\frac{z}{x})\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{10}{3}(1)$
Mặt khác ta có: $\frac{x}{y}\leq 1;\frac{y}{z}\leq 1$ nên $(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z}) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq 1+\frac{x}{z}(2)$
Tương tự, ta được: $\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq 1+\frac{z}{x}(3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq 2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$
Do đó: $P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y} \leq \frac{16}{3}+\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a,b,c$ có $1$ số bằng $1;\;\;\ 2$ số bẳng $3$ hoặc có $1$ số bằng $3; \;\;\ 2$ số bằng $1.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 20-09-2016 - 21:14
- tritanngo99, Frankesten và loolo thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
