Tìm GTLN của x+y với x;y là nghiệm của hệ
Bắt đầu bởi VMF123, 21-09-2016 - 13:53
#1
Đã gửi 21-09-2016 - 13:53
#2
Đã gửi 21-09-2016 - 14:07
Lời giải.
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$
Lấy $\left ( 1 \right )+i\left ( 2 \right )$ ta được:
$$x+yi+\dfrac{3\left ( x-yi \right )-\left ( xi+y \right )}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 3 \right )$$
Đặt $z=x+yi$ phương trình $\left ( 3 \right )$ trở thành:
$$z+\dfrac{3\overline{z}-\overline{z}i}{\left | z \right |^{2}}=3$$
$$\Leftrightarrow z+\dfrac{3-i}{z}=3$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} z=2+i \\ z=1-i \end{array}\right.$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.
----
Bài toán này xây dựng từ số phức nên giải bằng số phức là nhanh nhất. Tuy nhiên để hợp với chương trình mình trình bày lời giải khác không sử dụng số phức:
Lời giải.
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3\qquad \left ( 1 \right ) \\ y-\dfrac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=0\qquad \left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$$
Ta thấy $x=0$ hoặc $y=0$ đều không phải nghiệm của hệ nên xét $xy\neq 0$.
Lấy $y\left ( 1 \right )+x\left ( 2 \right )$ ta được:
$$2xy-1=3y$$
$$\Leftrightarrow x=\dfrac{3y+1}{2y}$$
Thay vào $\left ( 2 \right )$ ta được:
$$y-\dfrac{\frac{3y+1}{2y}+3y}{\left ( \frac{3y+1}{2y} \right )^{2}+y^{2}}=0$$
$$\Leftrightarrow y\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( 4y^{2}+1 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=0 \\ y=\pm 1 \end{array}\right.$$
Vì $y\neq 0$ nên ta được $y=\pm 1$.
Với $y=1$ ta được $x=2$, với $y=-1$ ta được $x=1$.
Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;-1 \right )$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-09-2016 - 14:20
- loolo yêu thích
Thích ngủ.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh